解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5=b, \\ 5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-x_5=2 .\end{array}\right.$
（I）$a, b$ 为何值时，方程组有解？
（II）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；
（III）方程组有解时，求出方程组的全部解．
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3, \\ x_1+a_4 x_2+a_1^2 x_3=a_4^3 .\end{array}\right.$
（I）证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
（II）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是该方程组的两个解，其中 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，写出此方程组的通解．
$\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+\lambda x_2-x_3=1, \\ \lambda x_1-x_2+x_3=2, \\ 4 x_1+5 x_2-5 x_3=-1\end{array}\right.$ 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解．
（I）求 $a$ 的值；
（II）求方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 的通解．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ ，并求所有矩阵 $\boldsymbol{C}$ 。
设四元齐次线性方程组（I ）为 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0 .\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组（II）的通解为 $k_1(0,1,1,0)^{\mathrm{T}}+k_2(-1,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求线性方程组（I）的基础解系；
（2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．
已知齐次线性方程组
（I）$\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3=0, \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3=0, \\ x_1+x_2+a x_3=0,\end{array}\right.$ 和（II）$\left\{\begin{array}{l}x_1+b x_2+c x_3=0, \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0,\end{array}\right.$
同解，求 $a, b, c$ 的值．
已知 4 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right), \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 均为 4 维列向量，其中 $\boldsymbol{\alpha}_2$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$ ．如果 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$ ，求线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}= \boldsymbol{\beta}$ 的通解．