【37388】 【 等差数列综合训练(提高版)】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_n>0, a_2=3 a_1$ ，且数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 是等差数列，证明：$\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．

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【37387】 【 等差数列综合训练(提高版)】 单选题 图 1 是中国古代建筑中的举架结构，$A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}, D D^{\prime}$ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 $D D_1, C C_1, B B_1, A A_1$ 是举，$O D_1, D C_1, C B_1, B A_1$ 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 $\frac{D D_1}{O D_1}=0.5, \frac{C C_1}{D C_1}=k_1, \frac{B B_1}{C B_1}=k_2, \frac{A A_1}{B A_1}=k_3$ 。已知 $k_1, k_2, k_3$ 成公差为 0.1 的等差数列，且直线 $O A$的斜率为 0.725 ，则 $k_3=()$ [img=/uploads/2026-02/c388fa.jpg,WIDTH=500PX][/img]

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【37386】 【 等差数列综合训练(提高版)】 解答题 已知正项数列 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_1=1, S_n$ 是其前 $n$ 项和，且满足 $S_{n+1}=\left(\sqrt{S_n}+S_1\right)^2$ （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式： （2）已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=(-1)^{n+1} \frac{a_n+1}{a_n a_{n+1}}$ ，设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求 $T_{\mathrm{n}}$ 的最小值

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【37385】 【 等差数列综合训练(提高版)】 解答题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，满足 $a_n=2 \sqrt{S_n}-1$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）若 $b_n=a_n \cos \frac{2 n \pi}{3}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $3 n+1$ 项和 $T_{3 n+1}$ ．

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【37384】 【 等差数列综合训练(提高版)】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n=\frac{1}{3}(n+2) a_n$ ，且 $a_1=1$ ． （1）求证：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是等差数列； （2）求数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37383】 【 等差数列综合训练(提高版)】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_n=\left(a_n-n\right)(n+1)$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n-b_{n-1}=\frac{a_n}{2}\left(n \in \mathrm{~N}^*, n \geq 2\right)$ 且 $a_1-b_1=1,\left\{\frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明： $1 \leq T_n<2$ ．

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【37382】 【 等差数列综合训练(提高版)】 多选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$ ，满足 $\frac{1}{S_n}=\frac{2 a_n}{a_n^2+1}$ 对 $n \in \mathrm{~N}^*$ 成立，则下列结论正确的是

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【37381】 【 等差数列综合训练(提高版)】 单选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{(n+1) a_n}{a_n+n}, a_1+a_1 a_2+\mathrm{L}+a_1 a_2 \mathrm{~L} a_n<m(m \in \mathbf{R})$ 恒成立，则 $m$ 的最小值为

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【37380】 【 等差数列综合训练(提高版)】 单选题 已知数列 $\left\{\frac{2}{a_n+1}\right\}$ 为等差数列，且 $a_1=1, a_4=-\frac{1}{2}$ ，则 $a_{2023}=$

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【37379】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=5, n a_{n+1}=S_n-\frac{n(n+1)}{2}+1$ ． （1）求 $\{a n\}$ 的通项公式； （2）证明：$S_n \leq 20$ ．

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