【37378】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 单选题 记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_3=a_5, a_3-a_1=8$ ，则 $a_7=()$

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【37377】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 单选题 已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2+a_4+a_6=\pi$ ，则 $\cos \left(a_1+a_7\right)=$

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【37376】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 单选题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，满足 $2 S_n=a_n\left(a_n+1\right)$ ，则 $a_{2023}=$

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【37375】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的积记为 $T_n$ ，且满足 $\frac{1}{T_n}=\frac{a_n-1}{a_n}$ （1）证明：数列 $\left\{T_n\right\}$ 为等差数列； （2）若 $b_n=\left\{\begin{array}{l}T_n, n \text { 为奇数，} \\ \frac{1}{T_{n-1} T_{n+1}}, n \text { 为偶数，求数列 }\left\{b_n\right\} \text { 的前 } 2 n \text { 项和 } T_{2 n} \text { ．}\end{array}\right.$

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【37374】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n\left(S_n \neq 0\right)$ ，数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_n$ ，且满足 $S_n+T_n=S_n \cdot T_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ． （1）求证：$\left\{\frac{1}{S_n-1}\right\}$ 为等差数列； （2）记 $b_n=\frac{1}{n^2 S_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 2023 项的和 $M$ ．

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【37373】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+2 a_n$ ． （1）证明 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 为等差数列，并 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $c_n=4 n^2 a_n a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37372】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，且满足 $3 a_{n+1}-a_n=2 \times 3^{-n}$ ． （1）求证：数列 $\left\{3^n \cdot a_n\right\}$ 是等差数列； （2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=9^n \cdot a_n a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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【37371】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}+2 a_n a_{n+1}-a_n=0$ ．记 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ． （1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列； （2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，求数列 $\left\{(-1)^n S_n\right\}$ 的前 20 项的和．

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【37370】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，其中 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）若对任意 $n \in \mathrm{~N}_{+}$，且当 $n \geq 2$ 时，总有 $\frac{1}{4 S_1}+\frac{1}{S_2-1}+\frac{1}{S_3-1}+\cdots+\frac{1}{S_n-1}<\lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

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【37369】 【 等差数列通项公式与前n项和的关系】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, \frac{1}{2} S_n=a_n-2^{n-1}$ ． （1）证明：$\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$ 是等差数列； （2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项积．

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