单选题 （共 31 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \beta_1(x), \beta_2(x)$ 都是非零无穷小量，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ ， $\beta_1(x) \sim \beta_2(x)$ ，则下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_2(x)-\beta_2(x)=o\left(\alpha_2(x)\right)$ ．
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1(x)-\beta_1(x)=o\left(\alpha_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_2(x) \sim \beta_2(x)$ ．
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1(x)=o\left(\beta_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
下列幂级数的和函数在区间 $(0,1)$ 内必有零点的是（ ）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n-1)} x^n$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n}$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2 n+1}}{(2 n+1)!(2 n+1)} x^{2 n+1}$ ．
积分 $\int_0^1 x^a|\ln x|^b d x$ 收敛，则（）
$\text{A.}$ $a>-1, b>-1$ ．
$\text{B.}$ $a>-1, b < -1$ ．
$\text{C.}$ $a < -1, b>-1$ ．
$\text{D.}$ $a < -1, b < -1$ ．
设可导函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的解，并且在 $(-\infty, 0]$ 上满足 $f(x)=$ $g(x)$ ．若 $f(1)>1$ ，则 $g(x)$ 可能为 ()
$\text{A.}$ $x$ ．
$\text{B.}$ $x^2$ ．
$\text{C.}$ $x^3$ ．
$\text{D.}$ $x^4$ ．
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\varphi(x), & x \geqslant 0, \\ \phi(x), & x < 0,\end{array}\right.$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\varphi(0)}{x}=A$（常数），其中可导函数 $\varphi(x)$, $\phi(x)$ 满足 $\varphi^{\prime}(0) \leqslant 0, \phi^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，下列说法
（1）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续；（2）$A=0$ ；（3） $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$ ；（4）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点．正确的个数为（）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (\cos x)}{2} d x, I_2=\int_{-1}^1 \frac{(1+\sin x)^2}{2\left(1+\sin ^2 x\right)} d x, I_3=\int_{-1}^1 f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 3$ ，则三者的大小关系为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{2 n-1}\right)^{n^2 \sin \frac{1}{n}}=A>0$ ，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-k n\right)=B$（ $k$ 为常数）存在，则 $B=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 \ln A+1$
$\text{B.}$ $2 \ln A-1$
$\text{C.}$ $-A$
$\text{D.}$ $2 \ln A$
若反常积分 $\int_0^{e^2} \frac{d x}{\sqrt{x}|\ln \sqrt{x}|^p}$ 收敛，则参数 $p$ 的取值范围为（ ）．
$\text{A.}$ $p \leqslant 1$
$\text{B.}$ $p \geqslant 2$
$\text{C.}$ $p < 1$
$\text{D.}$ $p < \frac{1}{2}$
已知定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y(x)$ 是微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y y^{\prime}=f(x), \\ y(0)=0\end{array}\right.$ 的解，其中连续函数 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的非负偶函数，曲线 $y(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_x$ ，曲线 $f(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_y$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $V_x=V_y$
$\text{B.}$ $V_x>V_y$
$\text{C.}$ $V_x < V_y$
$\text{D.}$ $V_x, V_y$ 大小不定
二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
已知函数 $\phi(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处连续且 $\varphi(0)=1$ ，若 $f(x)=$ $\phi(x) \varphi(x)$ 与 $g(x)=\frac{\phi(x)}{\varphi(x)}$ 在 $x=0$ 处均可导，且 $f^{\prime}(0)=3, g^{\prime}(0)=1$ ，则 () ．
$\text{A.}$ $\phi(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ $\phi(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
$\text{C.}$ $\phi^{\prime}(0)=3$
$\text{D.}$ $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处不可导
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $f(0,0)=0$ ， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$ ，则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续，偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \cot x, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 的四阶麦克劳林公式为 $a+b x^2+c x^4+o\left(x^4\right)$ ，则 $a+b+$ $c=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{29}{45}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{15}$
已知连续函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $\int_0^x f(u) g(u) d u=f(\eta) \int_0^x g(u) d u$ ，其中 $\eta$ 介于 0 和 $x$ 之间，若 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，且 $g(x)>0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\eta}{x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解，其中常数 $a < 0, b>0$ ，且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
已知 $\alpha(x)=\left(\frac{x^3+x^4}{x^2+x^4+1}\right)^{\frac{1}{3}}-\ln (1+x), \beta(x)=x^3 \ln |x|, \gamma(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，按无穷小阶数由高到低的顺序排列为（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha(x), \beta(x), \gamma(x)$
$\text{B.}$ $\beta(x), \gamma(x), \alpha(x)$
$\text{C.}$ $\gamma(x), \beta(x), \alpha(x)$
$\text{D.}$ $\gamma(x), \alpha(x), \beta(x)$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，在 $x=0$ 的某去心邻域内可导，且极限 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 存在，下列说法正确的为（ ）。
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+f(x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ 若 $\int_0^x f(t) d t$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 不一定等于 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ 若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x^{\frac{1}{3}}}=0$
方程 $\ln \left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)=x+k(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 没有根
$\text{B.}$ 恰有一个根
$\text{C.}$ 至少有两个根
$\text{D.}$ 根的个数与 $k$ 的取值有关
已知函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+ e ^{-2 t}\right), \\ y=2 t+\arctan e ^{-t}\end{array}\right.$ 确定，当 $x < \ln 2$ 时，函数 $y=y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 单调递增，且图形是凹的
$\text{B.}$ 单调递增，且图形是凸的
$\text{C.}$ 单调递减，且图形是凹的
$\text{D.}$ 单调递减，且图形是凸的
已知 $f(0)=-1$ ，导数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-5,3]$ 上连续，曲线 $y=f^{\prime}(x)$ 与直线 $x=-5, x=3$ 及 $x$轴围成的图像如图所示，相应的面积分别为 $S_1=2, S_2=4, S_3=3$ ，记 $f(x)$ 在 $[-5,3]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M-m=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y=3^x+x e ^{-x} \cos x$ ，下列 $a, b, b_1, b_2, c, c_1, c_2, d$ 均为任意常数，则其特解形式为（ ）。
$\text{A.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}\left[\left(b_1 x+c_1\right) \cos x+\left(b_2 x+c_2\right) \sin x\right]$
$\text{B.}$ $e \cdot 3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
$\text{C.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}(b x+c) \cos x$
$\text{D.}$ $3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
已知区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}, y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=2$ 围成，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则对于二重积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ ，下列表达式错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $\int_0^2 d x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{2 x}} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x+\int_0^1 d y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^2 f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^2 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2 \cos \theta}{\sin ^2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{\frac{2}{\sin \theta}}^{\frac{2 \cos \theta}{2} \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r-\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调，数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的任何子列都收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
已知当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\int_0^1 \frac{x^n}{a+x} d x$ 与 $\frac{1}{3 n}+\frac{1}{b n^2}$ 等价，其中 $a>0$ ，则 $a+b=(\quad$ ）．
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 4
曲线 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上曲率半径的最小值为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
已知 $f(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f^{\prime}(x)=\arcsin \sqrt{2 x-x^2}, f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[-1,5]$ 上的平均值为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$
已知 $z=2 x-3 y$ ，其中 $x, y$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}x y+u-v=1, \\ 2 x^2-y+u v=0\end{array}\right.$ 确定的 $u$ 与 $v$ 的隐函数，当 $(x, y)=$ $\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}, 0\right)$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial u}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-4+\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $4+\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $-4-\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $4-\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
已知奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内三阶可导，则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-t f^{\prime}(t)}{\int_0^{\sqrt{t}} d x \int_{x^2}^t \sin \left(\sqrt{y} x^2\right) d y}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{B.}$ $-3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数
$$
f(x)=x \ln x+\frac{e}{6} x^3-\frac{e}{2} x^2+\left(\frac{e}{2}-1\right) x-\frac{e}{6}, \quad g(x)=x(\ln x-1)+e^x-e x,
$$
则曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的公共切线的方程为
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0, c)$ ，其中 $c>1$ ，值域为 $[1,+\infty), f(0)=1, f^{\prime}(x)=$ $|f(x)|^a$ ，则 $a$ 的取值范围是
设二元函数 $F(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$F_1^{\prime}+\frac{1}{\sqrt{3}} F_2^{\prime} \neq 0, z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(x y z, \sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=0$ 所确定的隐函数，且 $z(1,1)=1$ ，则 $\left. d z\right|_{(1,1)}=$
设 $a_n=\int_1^{+\infty} x^{-\frac{3}{2}} \ln ^n x d x$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{a_n}=$
已知长为 5 m 的梯子斜靠在墙角，梯子底部离墙角的距离为 3 m ，若梯子底部水平滑移的速度为 $0.6 m / s$ ，则梯子与地面的夹角变化的速率为 $\qquad$ $rad / s$.
已知曲线 $f(x)=\frac{\left(x^2+2 x+3\right) e ^{a x}}{(x-1)\left( e ^x-c\right)}(a \neq 0, c>0)$ 有一条铅直渐近线与一条斜渐近线，则斜渐近线方程为 $\qquad$ ．
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
已知 $x>0, y>0$ ，不等式 $\frac{A}{x y} \leqslant \ln \left(x^2+y^2\right)$ 恒成立，则参数 $A$ 的取值范围为 $\qquad$ .
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)= e ^{-x}-\int_0^x t\left[3 f^{\prime}(x-t)+2 f(x-t)\right] d t$ ，且 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小．
（1）求 $f(x)$ 的表达式；
（2）求曲线 $\frac{f(x)}{x^{\frac{3}{2}}}$ 与 $y$ 轴及 $x$ 轴正半轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．