单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $A=\{-1,0,1,2,3,4\}, B=\left\{x \mid x^2 \in A\right\}$, 则 $A \cap B=(\quad)$
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{-1,0,1\}$
$\text{C.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{D.}$ $\{-1,0,1,2\}$
" $x>0$ " 是 " $x+\frac{1}{x} \geqslant 2$ " 的 ( )
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $y=2^{x-1}$ 与 $y=2^{1-x}$ 的图象（）
$\text{A.}$ 关于 $y$ 轴对称
$\text{B.}$ 关于直线 $x=1$ 对称
$\text{C.}$ 关于直线 $x=-1$ 对称
$\text{D.}$ 关于直线 $x=2$ 对称
若函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}-a x$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减, 则实数 $a$ 的取值范围为 ( )
$\text{A.}$ $[0,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $[1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
已知 $\cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{3}, \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}$, 则 $\cos (2 \alpha-2 \beta)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{9}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
薯条作为一种油炸食品, 风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厔 Heston Blumenthal 对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了 "油炸质量曲线" (图 1), 将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下, 薯条品质得分 $p$ 与煎炸时间 $t$ （单位：min）满足函数关系 $p=a t^2+b t+c$ （ $a 、 b 、 c$ 是常数，，图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（）
$\text{A.}$ 2.25 min
$\text{B.}$ 2.75 min
$\text{C.}$ 3.25min
$\text{D.}$ 3.75 min
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x), f(1)=0$, 当 $x < 0$ 时, $f^{\prime}(x) < \frac{f(x)}{x}$, 则不等式 $(x-1) \cdot f(x)>0$ 的解集为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $(-1,0)$
$\text{B.}$ $(-1,0) \cup(1,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-1) \cup(0,1)$
$\text{D.}$ $(-1,0) \cup(0,1)$
已知 $a>\mathrm{e}^2, b>0, c>0$, 当 $x \geqslant 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^x-\sqrt{a} x\right)\left(x^2-b x+c\right) \geqslant 0$ 恒成立, 则 $\frac{a c}{b^3}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{\mathrm{e}^3}{27}$
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{e}^2}{9}$
$\text{D.}$ 1
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知 $x>y>0$, 且 $x+y=1$, 则 ( )
$\text{A.}$ $|x-1|+|y-1|=1$
$\text{B.}$ $\frac{y}{x}>\frac{y+1}{x+1}$
$\text{C.}$ $4^x+4^y>4$
$\text{D.}$ $x^2+4 y^2 \geqslant \frac{4}{5}$
关于函数 $f(x)=\cos x \sin 2 x$, 下列说法中正确的是 ( )
$\text{A.}$ 图象关于直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 对称
$\text{B.}$ 图象关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称
$\text{C.}$ 最小正周期为 $2 \pi$
$\text{D.}$ 最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$
若函数 $f(x)=x^3-3 x^2+a x+b$ 有三个零点 $x_1, x_2, x_3$, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ $a>3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{f^{\prime}\left(x_1\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_2\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_3\right)}=0$
$\text{C.}$ 若 $x_1, x_2, x_3$ 成等差数列, 则 $a+b=2$
$\text{D.}$ 若 $x_1, x_2, x_3$ 成等比数列, 则 $a^3=27 b$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $x>0, y>0$, 且 $\log _2 x=\log _5 y=\lg (x+y)$, 则 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$
函数 $f(x)=\left|x^3-1\right|+x^2$ 的值域为
若函数 $f(x)=\left|\mathrm{e}^x-a\right|-a \ln x$ 有两个零点, 则实数 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a \sin A=\left(b-\frac{c}{2}\right) \sin B+\left(c-\frac{b}{2}\right) \sin C$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 周长为 8 , 求 $a$.
广阳岛, 作为长江上游最大的江心岛, 其面积在枯水期约为 10 平方公里. 自 2017 年起, 重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设 "长江风景眼，重庆生态岛"、经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的 124 种增加到 213 种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类. 为调查广阳岛某种鸟的数量, 将其分成面积相近的 50 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 5 个作为样区, 调查得到样本数据 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, 5)$, 其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别表示第 $i$ 个样区的植被覆盖面积 (单位: 平方公里) 和这种鸟的数量.
(1) 求广阳岛这种鸟数量的估计值 (这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数);
(2) 求样本 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, 5)$ 的相关系数（精确到 0.01 ）;
（3）根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大。为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由.
附：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}, \bar{x}=0.18, \sqrt{\sum_{i=1}^5\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^5\left(y_i-\bar{y}\right)^2} \approx 0.232$ 。
已知函数 $f(x)=x-(a+1) \ln x-\frac{a}{x}, a \in \mathbf{R}$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $x \geqslant 1$ 时, $f(x) \geqslant-2 a-4$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
已知 $F$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点, 椭圆 $C$ 过点 $P(2, \sqrt{2})$, 且直线 $P F$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 若点 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$ 在椭圆 $C$ 上, 且 $\angle M F N=90^{\circ}$, 过 $M, N$ 分别作椭圆 $C$ 的切线 $l_1$, $l_2, l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $Q$.
(i) 求点 $Q$ 的轨迹方程;
(ii) 求 $\triangle P Q F$ 周长的最小值.
已知 $O$ 为坐标原点, 点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 分别在曲线 $C_1: y=a^x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 和曲线 $C_2: y=\log _a x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 上, $A B / / x$ 轴, 直线 $O A$ 与直线 $O B$ 关于直线 $y=x$ 对称.
(1) 若 $x_1=1$, 求 $a$;
(2) 证明：当 $a>\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ 时， $x_1$ 的取值是唯一的.