已知 $O$ 为坐标原点, 点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 分别在曲线 $C_1: y=a^x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 和曲线 $C_2: y=\log _a x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 上, $A B / / x$ 轴, 直线 $O A$ 与直线 $O B$ 关于直线 $y=x$ 对称.
(1) 若 $x_1=1$, 求 $a$;
(2) 证明：当 $a>\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ 时， $x_1$ 的取值是唯一的.