已知 $F$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点, 椭圆 $C$ 过点 $P(2, \sqrt{2})$, 且直线 $P F$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 若点 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$ 在椭圆 $C$ 上, 且 $\angle M F N=90^{\circ}$, 过 $M, N$ 分别作椭圆 $C$ 的切线 $l_1$, $l_2, l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $Q$.
(i) 求点 $Q$ 的轨迹方程;
(ii) 求 $\triangle P Q F$ 周长的最小值.