单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin (|x|)$
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin (\sqrt{|x|})$
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos (\sqrt{|x|})$
过点 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,0)$ 且与 $z=x^2+y^2$ 相切的平面方程为
$\text{A.}$ $z=0$ 与 $x+y-z=1$
$\text{B.}$ $z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$
$\text{C.}$ $y=x$ 与 $x+y-z=1$
$\text{D.}$ $y=x$ 与 $2 x+2 y-z=2$
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$
$\text{D.}$ $3 \sin 1+2 \cos 1$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，
$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x ，
$$
则 $M, N, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $M>N>K$
$\text{B.}$ $M>K>N$
$\text{C.}$ $K>M>N$
$\text{D.}$ $K>N>M$
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(A, A B)=r(A)$
$\text{B.}$ $r(A, B A)=r(A)$
$\text{C.}$ $r(A, B)=\max \{r(A), r(B)\}$
$\text{D.}$ $r(A, B)=r\left(A^T, B^T\right)$
设 $f(x)$ 为某分布的概率密度函数，
$$
f(1+x)=f(1-x) ， \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0.6 ，
$$
则 $P\{X < 0\}=$
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.4
$\text{D.}$ 0.6
给定总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right) ， \sigma^2$ 已知，给定样本 $X_1, X_2$, $\cdots, X_n$ ，对总体均值 $\boldsymbol{\mu}$ 进行检验，令
$$
H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0,
$$
则
$\text{A.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时拒绝 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时也拒绝 $\boldsymbol{H}_0$
$\text{B.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时接受 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时拒绝 $H_0$
$\text{C.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时拒绝 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时接受 $H_0$
$\text{D.}$ 若显著性水平 $\alpha=0.05$ 时接受 $H_0$ ，则 $\alpha=0.01$ 时也接受 $\boldsymbol{H}_{\mathbf{0}}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin k x}}=e$ ，则 $k=$
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相切，则
$$
\int_0^1 x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=
$$
设 $\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}-y z \vec{j}+x z \vec{k}$ ，则
$$
\operatorname{rot} \vec{F}(1,1,0)=
$$
曲线 $S$ 由 $x^2+y^2+z^2=1$ 与 $x+y+z=0$ 相交而成，则 $\oint_S x y \mathrm{~d} s=$
二阶矩阵 $A$ 有两个不同的特征值， $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关的特征向量， $A^2\left(\alpha_1+\alpha_2\right)=\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ ，则 $|A|=$ $\qquad$
设随机事件 $A, B$ 相互独立， $A, C$ 相互独立， $B C=\phi$ ，若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(A C \mid A B \cup C)=\frac{1}{4} ，$则 $P(C)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$
将长为 2 m 的铁丝分成三段，分别围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值，如果存在，求出最小值.
设曲面 $\Sigma: x=\sqrt{1-3 y^2-3 z^2}$ 取前侧，求
$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $R$ 上的连续函数.
(1) 当 $f(x)=x$ 时，求微分方程的通解；
(2) 当 $f(x)$ 为周期函数时，证明微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 。
(1) 求 $a$ ；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为:
$$
P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2} .
$$
$Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布， $Z=X Y$.
(1)求 $\operatorname{cov}(X, Z)$ ；
(2)求 $Z$ 的分布律.
已知总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty ，
$$
$\sigma$ 为大于 0 的未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$.
(1)求 $\hat{\sigma}$ ；
(2)求 $E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$.