单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，若 $\ln ^\alpha(1+2 x) ，(1-\cos x)^\alpha$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(2,+\infty)$
$\text{B.}$ $(1,2)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数， $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的曲率半径是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{50}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{100}$
$\text{C.}$ $10 \sqrt{10}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{10}$
设函数 $f(x)=\arctan x$ ，若 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\xi^2}{x^2}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0 \text { 及 } \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \text { ，则( ) }
$$
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取得
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取得
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取得，最小值在 $D$ 的边界上取得
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取得，最大值在 $D$ 的边界上取得
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\infty}^1 \frac{1}{x^2+2 x+5} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f^{\prime}(x)=2(x-1)$ ， $x \in[0,2]$ ，则 $f(7)=$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $e^{2 y z}+x+y^2+z=\frac{7}{\text { 考 }}$ 确定的函数，则 $\left.\mathrm{d}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$ ，则 $L$ 在点 $(r, \theta)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$处的切线的直角坐标方程是
一根长度为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^2+2 x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(e^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^2+y^2 y^{\prime}=1-y^{\prime}$ ，且 $y(2)=0$ ，求 $y(x)$ 的极大值与极小值.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ，计算 $I=\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数， $z=f\left(e^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\left(4 z+e^x \cos y\right) e^{2 x}
$$
若 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式.
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加， $0 \leq g(x) \leq 1$ ，证明:
(1) $0 \leq \int_a^x g(t) \mathrm{d} t \leq x-a ， x \in[a, b]$;
(2) $\int_a^{a+\int_a^b g(t) \mathrm{d} t} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)=\frac{x}{1+x}, x \in[0,1]$ ，定义函数列:
$$
f_1(x)=f(x), f_2(x)=f\left(f_1(x)\right), \cdots, f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \ldots
$$
记 $S_n$ 是由曲线 $y=f_n(x)$ 、直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n S_n$.
已知函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)$ ，
$$
f(y, y)=(y+1)^2-(2-y) \ln y,
$$
求曲线 $f(x, y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成的旋转体的体积。
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵.
（1）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$.
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似.