设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0 \text { 及 } \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \text { ，则( ) }
$$
A. $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取得
B. $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取得
C. $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取得，最小值在 $D$ 的边界上取得
D. $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取得，最大值在 $D$ 的边界上取得