1990年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

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1990年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

一、单选题（共 15 题），每题只有一个选项正确

1. 方程

2^{\log_{3} x} = \frac{1}{4}

的解是

A.

x = \frac{1}{9}

B.

x = \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

x = \sqrt{3}

D.

x = 9

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2. 把复数

1 + i

对应的向量按顺时针方向旋转

\frac{2 π}{3}

所得到的向量对应的复数是

A.

\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} i

B.

\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} i

C.

\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} i

D.

\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} i

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3. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S , 那么圆柱的体积等于

A.

\frac{S}{2} \sqrt{S}

B.

\frac{S}{2} \sqrt{\frac{S}{π}}

C.

\frac{S}{4} \sqrt{S}

D.

\frac{S}{4} \sqrt{\frac{S}{π}}

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4. 方程

\sin 2 x = \sin x

在区间

(0, 2 π)

内的解的个数是

A.

B.

C.

D.

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5. 已知如图是函数

y = 2 \sin (ω_{x} + ϕ) (| ϕ | < \frac{π}{2})

的图象, 那么

A.

ω = \frac{10}{11}, ϕ = \frac{π}{6}

B.

ω = \frac{10}{11}, ϕ = - \frac{π}{6}

C.

ω = 2, ϕ = \frac{π}{6}

D.

ω = 2, ϕ = - \frac{π}{6}

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6. 函数

y = \frac{| \sin x |}{\sin x} + \frac{\cos x}{| \cos x |} + \frac{| \tan x |}{\tan x} + \frac{\cot x}{| \cot x |}

的值域是

A.

{- 2, 4}

B.

{- 2, 0, 4}

C.

{- 2, 0, 2, 4}

D.

{- 4, - 2, 0, 4}

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7. 如果直线

y = a x + 2

与直线

y = 3 x - b

关于直线

y = x

对称，那么

A.

a = \frac{1}{3}, b = 6

B.

a = \frac{1}{3}, b = - 6

C.

a = 3, b = - 2

D.

a = 3, b = 6

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8. 极坐标方程

4 \sin θ = 5 ρ

表示的曲线是

A.

圆

B.

椭圆

C.

双曲线的一支

D.

抛物线

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9. 设全集

I = {(x, y) ∣ x, y \in R}

, 集合

M = {(x, y) | \frac{y - 3}{x - 2} = 1}, N = (x, y) ∣ y \neq x + 1

. 那么

\bar{M} \cup \bar{N}

等于

A.

\frac{1}{2}

B.

{(2, 3)}

C.

(2, 3)

D.

{(x, y) ∣ y = x + 1}

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10. 若实数

x 、 y

满足

(x + 2)^{2} + y^{2} = 3

, 则

\frac{y}{x}

的最大值为

A.

\sqrt{3}

B.

- \sqrt{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

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11. 如图, 正三棱锥

S A B C

的侧棱与底面边长相等, 如果

E 、 F

分别为

S C 、 A B

的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于

A.

90^{\circ}

B.

60^{\circ}

C.

45^{\circ}

D.

30^{\circ}

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12. 已知

h > 0

. 设命题甲为: 两个实数

a, b

满足

| a - b | < 2 h

; 命题乙为: 两个实数

a, b

满足

∣ a - 1 ∣< h

且

| b - 1 | < h

. 那么

A.

甲是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件

B.

甲是乙的必要条件, 但不是乙的充分条件

C.

甲是乙的充分条件

D.

甲不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件

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13. A, B, C, D, E 五人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边 (A, B 可以不相邻), 那么不同的排法共有

A.

24 种

B.

60 种

C.

90 种

D.

120 种

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14. 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

A.

70 个

B.

64 个

C.

58 个

D.

52 个

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15. 设函数

y = arctg x

的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 C . 又设图象

C^{'}

与

C

关于原点对称, 那么

C^{'}

所对应的函数是

A.

y = - a r c t g (x - 2)

B.

y = a r c t g (x - 2)

C.

y = - a r c t g (x + 2)

D.

y = a r c t g (x + 2)

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

16. 双曲线

\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1

的准线方程是

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17.

(x - 1) - (x - 1)^{2} + (x - 1)^{3} - (x - 1)^{4} + (x - 1)^{5}

的展开式中,

x^{2}

的系数等于

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18. 已知

a_{n}

是公差不为零的等差数列, 如果

s_{n}

是

a_{n}

的前

n

项的和, 那么

lim_{n \to \infty} \frac{n a_{n}}{s_{n}}

等于

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19. 函数

y = \sin x \cos x + \sin x + \cos x

的最大值是

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20. 如图, 三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中, 若

E 、 F

分别为

A B 、 A C

的中点, 平面

{EB}_{1} C_{1} F

将三棱柱分成体积为

V_{1} 、 V_{2}

的两部分, 那么

V_{1} : V_{2} =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个数的和是 12 , 求这四个数.

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22. 已知

\sin a + \sin β = \frac{1}{4}, \cos a + \cos β = \frac{1}{3}

, 求

\tan (a + β)

的值.

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23. 如图, 在三棱锥

S A B C

中,

S A ⊥

底面

A B C, A B ⊥ B C . D E

垂直平分

S C

, 且分别交

A C 、 S C

于

D

、
E. 又

S A = A B, S B = B C

. 求以

B D

为棱, 以

B D E

与

B D C

为面的二面角的度数.

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24. 设 a 为实数, 在复数集 C 中解方程:

z^{2} + 2 | z | = a

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25. 设椭圆的中心是坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率

e = \frac{\sqrt{3}}{2}

, 已知点

P (0, \frac{3}{2})

到这个椭圆上的点最远距离是

\sqrt{7}

. 求这个椭圆的方程, 并求椭圆上到点 P 的距离等于

\sqrt{7}

的点的坐标.

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26.

f (x) = 1 g \frac{1 + 2^{x} + \dots + (n - 1)^{x} + n^{x} a}{n}

, 其中

a

是实数,

n

是任意自然数且

n ⩾ 2

.
(I) 如果

f (x)

当

x \in (- \infty, 1]

时有意义, 求

a

的取值范围;
(II) 如果

a \in (0, 1]

, 证明

2 f (x) < f (2 x)

当

x \neq 0

时成立.

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