2022高二年级第一学期期中考试数学试题

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2022高二年级第一学期期中考试数学试题

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知等差数列

{a_{n}}

的通项公式为

a_{n} = 3 - 2 n

, 则它的公差为

A.

- 2

B.

- 3

C.

2

D.

3

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2. 一个三角形的两内角分别为

45^{\circ}

和

60^{\circ}

, 如果

45^{\circ}

角所对的边长是 6 , 那么

60^{\circ}

角所对的边长为

A.

3 \sqrt{6}

B.

3 \sqrt{2}

C.

3 \sqrt{3}

D.

2 \sqrt{6}

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3. 不等式

(1 + x) (2 - x) > 0

的解集为

A.

(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)

B.

(- 1, 2)

C.

(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)

D.

(- 2, 1)

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4. 设

S_{n}

是等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 已知

a_{2} = 3, a_{6} = 11

, 则

S_{7}

等于

A.

B.

C.

D.

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5. 在各项都为正数的等比数列

{a_{n}}

中, 首项

a_{1} = 3

, 前三项和为 21 , 则

a_{3} + a_{4} + a_{5} =

A.

B.

C.

D.

189

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6. 若数列

{a_{n}}

满足:

a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}

且

a_{1} = 2

, 则

a_{2010} =

A.

- 1

B.

1

C.

2

D.

\frac{1}{2}

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7. 设变量

x, y

满足约束条件:

{\begin{cases} x + y \geq 3 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 3 \end{cases}

, 则目标函数

z = 2 x + 3 y

的最小值为

A.

B.

C.

D.

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8. 在

△ ABC

中, 已知

2 \sin A \cos B = \sin C

, 那么

△ ABC

一定是

A.

直角三角形

B.

等腰三角形

C.

等腰直角三角形

D.

正三角形

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9. 若

a 、 b 、 c

是常数, 则 “

a > 0

且

b^{2} - 4 a c < 0

”是 “对任意

x \in R

, 有

a x^{2} + b x + c > 0

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

即不充分也不必要条件

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10. 等差数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

的前

n

项和分别为

S_{n}

与

T_{n}

, 对一切自然数

n

, 都有

\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}

, 则

\frac{a_{5}}{b_{5}}

等于

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{9}{14}

C.

\frac{20}{31}

D.

\frac{11}{17}

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11. 若

a > 0, b > 0

, 且

(a - 1) (b - 1) < 0

, 则

\log_{a} b + \log_{b} a

的取值范围是

A.

(- \infty, - 2]

B.

[2, + \infty)

C.

[- 2, 2]

D.

[- 2, 0) \cup (0, 2]

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12. 设

a, b, c \in R^{+}

, 若

(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}) \geq k

恒成立, 则

k

的最大值是

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - x - 6 < 0}, B = {x ∣ x^{2} + 2 x - 8 > 0}

,
则

A \cap B =

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14. 若函数

y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}

, 则函数

y

的最小值是

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15. 在等比数列

{a_{n}}

中, 若公比

q = 4

, 且前 3 项之和等于 21 , 则该数列的通项公式

a_{n} =

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16. 已知

a_{n} = \log_{(n + 1)} (n + 2), n \in N_{+}

, 我们把使乘积

a_{1} \cdot a_{2} \dots \cdot a_{n}

为整数的

n

, 叫 “类数”, 则在区间

(1, 2009)

内所有类数的和为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 关于

x

的不等式

a x^{2} + a x + a - 1 < 0

的解集为

R

, 求

a

的取值范围.

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18. 某工厂家具车间造

A 、 B

型两类桌子, 每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张

A 、 B

型桌子分别需要 1 小时和 2 小时, 漆工油漆一张

A

、

B

型桌子分别需要 3 小时和 1 小时; 又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时, 而工厂造一张

A 、 B

型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元, 试问工厂每天应生产

A 、 B

型桌子各多少张, 才能获得利润最大?

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19. 已知关于

x

的二次方程

a_{n} x^{2} - a_{n + 1} x + 1 = 0 (n \in N^{*})

的两根

α, β

满足

6 α - 2 α β + 6 β = 3

, 且

a_{1} = 1

（1）试用

a_{n}

表示

a_{n + 1}

;
（2）求证：数列

{a_{n} - \frac{2}{3}}

是等比数列;
（3）求数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n}

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20. 设

△ A B C

的内角

A 、 B 、 C

的对边长分别为

a 、 b

、

c, \cos (A - C) + \cos B = \frac{3}{2}, b^{2} = a c

, 求

B

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21. 美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球, 低迷的市场造成产品销售越来越难, 为此某厂家举行大型的促销活动, 经测算该产品的销售量

P

万件与促销费用

x

万元

(x \geq 0)

满足

P = 3 - \frac{2}{x + k}

(

k

为常数), 如果不搞促销活动, 该产品的销售只能是一万件, 已知生产该产品的固定投入是 10 万元, 每生产 1 万件该产品需要再投入 2 万元, 产品的销售价格定为该产品的平均成本 (不含促销费用) 的 2 倍.
(I) 将该产品的利润

y

万元表示为促销费用

x

万元的函数;
(II) 促销费用投入多少万元时, 厂家的利润最大.

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22. 已知二次函数

f (x) = x^{2} - a x + a (x \in R)

同时满足: (1)不等式

f (x) \leq 0

的解集有且只有一个元素; (2)在定义域内存在

0 < x_{1} < x_{2}

, 使得不等式

f (x_{1}) > f (x_{2})

成立, 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n} = f (n)

.
(I) 求函数

f (x)

的表达式;
(II) 求数列

{a_{n}}

的通项公式;
(III) 设各项均不为 0 的数列

{c_{n}}

中, 所有满足

c_{i} \cdot c_{i + 1} < 0

的整数

i

的个数称为这个数列

{c_{n}}

的变号数, 令

c_{n} = 1 - \frac{a}{a_{n}} (n \in N^{*})

, 求数列

{c_{n}}

的变号数.

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