单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3-2 n$, 则它的公差为
$\text{A.}$ $-2$
$\text{B.}$ $-3$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $3$
一个三角形的两内角分别为 $45^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$, 如果 $45^{\circ}$ 角所对的边长是 6 , 那么 $60^{\circ}$ 角所对的边长为
$\text{A.}$ $3 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{6}$
不等式 $(1+x)(2-x)>0$ 的解集为
$\text{A.}$ $(-\infty,-1) \cup(2,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-2) \cup(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-2,1)$
设 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{2}=3, a_{6}=11$, 则 $S_{7}$ 等于
$\text{A.}$ 13
$\text{B.}$ 35
$\text{C.}$ 49
$\text{D.}$ 63
在各项都为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 首项 $a_{1}=3$, 前三项和为 21 , 则 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=$
$\text{A.}$ 33
$\text{B.}$ 72
$\text{C.}$ 84
$\text{D.}$ 189
若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n+1}=1-\frac{1}{a_{n}}$ 且 $a_{1}=2$, 则 $a_{2010}=$
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $1$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设变量 $x, y$ 满足约束条件: $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 3 \\ x-y \geq-1 \\ 2 x-y \leq 3\end{array}\right.$, 则目标函数 $z=2 x+3 y$ 的最小值为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 23
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 已知 $2 \sin A \cos B=\sin C$, 那么 $\triangle \mathrm{ABC}$ 一定是
$\text{A.}$ 直角三角形
$\text{B.}$ 等腰三角形
$\text{C.}$ 等腰直角三角形
$\text{D.}$ 正三角形
若 $a 、 b 、 c$ 是常数, 则 “ $a>0$ 且 $b^{2}-4 a c < 0$ ”是 “对任意 $x \in R$, 有 $a x^{2}+b x+c>0$ ”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 即不充分也不必要条件
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$, 对一切自然数 $n$, 都 有 $\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{2 n}{3 n+1}$, 则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{14}$
$\text{C.}$ $\frac{20}{31}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{17}$
若 $a>0, b>0$, 且 $(a-1)(b-1) < 0$, 则 $\log _{a} b+\log _{b} a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty,-2]$
$\text{B.}$ $[2,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-2,2]$
$\text{D.}$ $[-2,0) \cup(0,2]$
设 $a, b, c \in R^{+}$, 若 $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}\right) \geq k$ 恒成立, 则 $k$ 的最大值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-6 < 0\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}+2 x-8>0\right\}$,
则 $A \cap B=$
若函数 $y=\frac{x^{2}+3}{\sqrt{x^{2}+2}}$, 则函数 $y$ 的最小值是
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若公比 $q=4$, 且前 3 项之和等于 21 , 则该数列的通 项公式 $a_{n}=$
已知 $a_{n}=\log _{(n+1)}(n+2), n \in N_{+}$, 我们把使乘积 $a_{1} \cdot a_{2} \cdots \cdot a_{n}$ 为整数的 $n$, 叫 “类数”, 则在区间 $(1,2009)$ 内所有类数的和为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
关于 $x$ 的不等式 $a x^{2}+a x+a-1 < 0$ 的解集为 $R$, 求 $a$ 的取值范围.
某工厂家具车间造 $A 、 B$ 型两类桌子, 每张桌子需木工和漆工两道工序完 成.已知木工做一张 $A 、 B$ 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时, 漆工油漆一张 $A$ 、 $B$ 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时; 又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时, 而工厂造一张 $A 、 B$ 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元, 试问 工厂每天应生产 $A 、 B$ 型桌子各多少张, 才能获得利润最大?
已知关于 $x$ 的二次方程 $a_{n} x^{2}-a_{n+1} x+1=0\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的 两根 $\alpha, \beta$ 满足 $6 \alpha-2 \alpha \beta+6 \beta=3$, 且 $a_{1}=1$
（1）试用 $a_{n}$ 表示 $a_{n+1}$;
（2）求证：数列 $\left\{a_{n}-\frac{2}{3}\right\}$ 是等比数列;
（3） 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和 $S_{n}$.
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边长分别为 $a 、 b$ 、 $c, \cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}, b^{2}=a c$, 求 $B$.
美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球, 低迷的市场造成产品销售越来越难, 为此某厂家举行大型的促销活动, 经测算 该产品的销售量 $\mathrm{P}$ 万件与促销费用 $x$ 万元 $(x \geq 0)$ 满足 $P=3-\frac{2}{x+k}$ ( $k$ 为常 数), 如果不搞促销活动, 该产品的销售只能是一万件, 已知生产该产品的固定投入是 10 万元, 每生产 1 万件该产品需要再投入 2 万元, 产品的销售价格 定为该产品的平均成本 (不含促销费用) 的 2 倍.
(I) 将该产品的利润 $y$ 万元表示为促销费用 $x$ 万元的函数;
(II) 促销费用投入多少万元时, 厂家的利润最大.
已知二次函数 $f(x)=x^{2}-a x+a(x \in R)$ 同时满足: (1)不等式 $f(x) \leq 0$ 的 解集有且只有一个元素; (2)在定义域内存在 $0 < x_{1} < x_{2}$, 使得不等式 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 成立, 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=f(n)$.
(I) 求函数 $f(x)$ 的表达式;
(II) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(III) 设各项均不为 0 的数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 中, 所有满足 $c_{i} \cdot c_{i+1} < 0$ 的整数 $i$ 的个数称 为这个数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的变号数, 令 $c_{n}=1-\frac{a}{a_{n}}\left(n \in N^{*}\right)$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的变号数.