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已知二次函数
f
(
x
)
=
x
2
−
a
x
+
a
(
x
∈
R
)
同时满足: (1)不等式
f
(
x
)
≤
0
的 解集有且只有一个元素; (2)在定义域内存在
0
<
x
1
<
x
2
, 使得不等式
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
成立, 设数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
=
f
(
n
)
.
(I) 求函数
f
(
x
)
的表达式;
(II) 求数列
{
a
n
}
的通项公式;
(III) 设各项均不为 0 的数列
{
c
n
}
中, 所有满足
c
i
⋅
c
i
+
1
<
0
的整数
i
的个数称 为这个数列
{
c
n
}
的变号数, 令
c
n
=
1
−
a
a
n
(
n
∈
N
∗
)
, 求数列
{
c
n
}
的变号数.
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