已知二次函数 $f(x)=x^{2}-a x+a(x \in R)$ 同时满足: (1)不等式 $f(x) \leq 0$ 的 解集有且只有一个元素; (2)在定义域内存在 $0 < x_{1} < x_{2}$, 使得不等式 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 成立, 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=f(n)$.
(I) 求函数 $f(x)$ 的表达式;
(II) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(III) 设各项均不为 0 的数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 中, 所有满足 $c_{i} \cdot c_{i+1} < 0$ 的整数 $i$ 的个数称 为这个数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的变号数, 令 $c_{n}=1-\frac{a}{a_{n}}\left(n \in N^{*}\right)$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的变号数.