【ID】1870 【题型】解答题 【类型】期中考试 【来源】2022高二年级第一学期期中考试数学试题
美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球, 低迷的市场造成产品销售越来越难, 为此某厂家举行大型的促销活动, 经测算 该产品的销售量 $\mathrm{P}$ 万件与促销费用 $x$ 万元 $(x \geq 0)$ 满足 $P=3-\frac{2}{x+k}$ ( $k$ 为常 数), 如果不搞促销活动, 该产品的销售只能是一万件, 已知生产该产品的固定投入是 10 万元, 每生产 1 万件该产品需要再投入 2 万元, 产品的销售价格 定为该产品的平均成本 (不含促销费用) 的 2 倍.
(I) 将该产品的利润 $y$ 万元表示为促销费用 $x$ 万元的函数;
(II) 促销费用投入多少万元时, 厂家的利润最大.
答案:
(1) 由题意知 $x=0$ 时, $P=1$ 万件,
即 $1=3-\frac{2}{k} \Rightarrow k=1, \therefore P=3-\frac{2}{x+1}$ 该产品售价为 $2 \times\left(\frac{10+2 P}{P}\right)$ 万元, $y=2 \times\left(\frac{10+2 P}{P}\right) \times P-10-2 P-x$ 代入化简的 $y=17-\left(\frac{4}{x+1}+x+1\right),(x \geq 0)$


(2) $y=17-\left(\frac{4}{x+1}+x+1\right) \leq 17-2 \sqrt{\frac{4}{x+1}} \times(x+1)=13$ 当 $\frac{4}{x+1}=x+1$, 即 $x=1$ 时, 上式取等号 所以促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大.

解析:

视频讲解

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