单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续，则 $x=0$ 是函数 $g(x)=\frac{\int_0^x f(t) \mathrm{d} t}{x}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点.
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷间断点
$\text{D.}$ 振荡间断点.
设 $0 < a < b$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{-n}+b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}=$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $a^{-1}$
$\text{C.}$ $b$
$\text{D.}$ $b^{-1}$
如图，曲线方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续导数，则定积分 $\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示
$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 面积
$\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 面积
已知 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都存在
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在， $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 都不存在
设 $f(x)$ 是连续的奇函数， $g(x)$ 是连续的偶函数，区域
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,-\sqrt{x} \leq y \leq \sqrt{x}\}
$$
则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\iint_D f(y) g(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{B.}$ $\iint_D f(x) g(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{C.}$ $\iint_D[f(x)+g(y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{D.}$ $\iint_D[f(y)+g(x)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
设函数 $f$ 连续，若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D_{u v}: x^2+y^2=1, x^2+y^2=u^2, y=0, y=v x$ $(u>1, v>0)$ ，则 $\frac{\partial F}{\partial u}=$
$\text{A.}$ $v f\left(u^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{v}{u} f\left(u^2\right)$
$\text{C.}$ $v f(u)$
$\text{D.}$ $\frac{v}{u} f(u)$
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=O$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $E-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)$
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(x)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$, 且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则
$\text{A.}$ $P\{Y=-2 X-1\}=1$
$\text{B.}$ $P\{Y=2 X-1\}=1$
$\text{C.}$ $P\{Y=-2 X+1\}=1$
$\text{D.}$ $P\{Y=2 X+1\}=1$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+1, & |x| \leq c \\ \frac{2}{|x|}, & |x|>c\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $c=$
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则曲线 $y=f(x)$上对应 $x=0$ 处切线方程是
设 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$, 则 $\int_2^{2 \sqrt{2}} f(x) \mathrm{d} x=$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，则 $\iint_D\left(x^2-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_0^1 x^y \ln x \mathrm{~d} y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值互不相同，且行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $A$ 的秩为
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $P\left\{X=E X^2\right\}=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{\sin x}{x}$.
设函数 $f(x)=\int_0^1|t(t-x)| \mathrm{d} t(0 < x < 1)$ ，求 $f(x)$ 的极值、单调区间以及曲线 $y=f(x)$ 的凹凸区间.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2-z=\varphi(x+y+z)$所确定的函数，其中 $\varphi$ 具有 2 阶导数且 $\varphi^{\prime} \neq-1$.
(I) 求 $\mathrm{d} z$
(ㅍ) 记 $u(x, y)=\frac{1}{x-y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$.
计算 $\iint_D \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数，
（I ) 证明对任意实数 $t$ ，有 $\int_t^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$ ；
(ㅍ) 证明 $G(x)=\int_0^x\left[2 f(t)-\int_t^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周期函数.
设银行存款的年利率为 $r=0.05$ ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 $A$ 万元，实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元， $\ldots$ 、第 $n$ 年提取 $(10+9 n)$ 万元，并能按此规律一直提取下去，问 $A$ 至少应为多少万元?
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}
$$
$$
, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(I) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(II) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(III) 当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$的特征向量，向量 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$.
(I) 证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关;
(II) 令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，求 $P^{-1} A P$.
设某企业生产线上的产品合格率为 0.96 ，不合格产品中只有 $\frac{3}{4}$ 产品可以进行再加工，且再加工合格率为 0.8 ，其余均为废品. 每件合格品获利 80 元，每件废品亏损 20 元. 为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元，问企业每天至少应该生产多少件产品?
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，
$$
\begin{aligned}
\text { 记 } \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2 & =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
T & =\bar{X}^2-\frac{1}{n} S^2
\end{aligned}
$$
(I) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量；
(II) 当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$.