设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}
$$

$$
, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(I) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(II) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(III) 当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.