单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设数列 $x_n$ 与 $y_n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列断言正确的是
$\text{A.}$ 若 $x_n$ 发散，则 $y_n$ 必发散
$\text{B.}$ 若 $x_n$ 无界，则 $y_n$ 必有界
$\text{C.}$ 若 $x_n$ 有界，则 $y_n$ 必为无穷小
$\text{D.}$ 若 $\frac{1}{x_n}$ 为无穷小，则 $y_n$ 必为无穷小
函数 $f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数是
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量
$$
\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha,
$$
且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量，$y(0)=\pi $
$y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $e^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{D.}$ $\pi e^{\frac{\pi}{4}}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个领域内连续，且 $f(a)$ 为极大值，则存在 $\delta>0$ ，当 $x \in(a-\delta, a+\delta)$ 时，必有
$\text{A.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \geq 0$
$\text{B.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \leq 0$
$\text{C.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} \geq 0(x \neq a)$
$\text{D.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} \leq 0(x \neq a)$
设 $A$ 是任一 $n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*=$
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $k^{-1} A^*$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=$
曲线 $y=-x^3+x^2+2 x$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积 $A=$
$\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
曲线 $y=x \ln \left(e+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=(1+x)$
$$
\frac{x}{\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}
$$
在区间 $(0,2 \pi)$ 内的间断点，并判断其类型
确定常数 $a, b, c$ 的值，使
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_b^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c(c \neq 0) .
$$
利用代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ 将方程
$$
y^{\prime \prime} \cos x-2 y^{\prime} \sin x+3 y \cos x=e^x
$$
化简，并求出原方程的通解
计算积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{\left|x-x^2\right|}} \mathrm{d} x$.
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 $y$ (从海平面算起)与下沉速度 $v$ 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为 $m$ ，体积为 $B$ ，海水比重为 $\rho$ ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 $k(k>0)$. 试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程，并求出函数关系式 $y=y(v)$.
设 $y=f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证: 存在 $x_0 \in(0,1)$ ，使得在区间 $\left[0, x_0\right]$ 上以 $f\left(x_0\right)$ 为高的矩形面积等于在区间 $\left[x_0, 1\right]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>-\frac{2 f(x)}{x}$ ，证明(1)中的 $x_0$ 是唯一的.
设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
设 $y=y(x)$ 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 $(x, y)$处的曲率为 $\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$, 且此曲线上的点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $y=x+1$ ，求该曲线的方程，并求函数 $y=y(x)$ 的极值.
设 $x \in(0,1)$ ，证明:
(1) $(1+x) \ln ^2(1+x) < x^2$ ；
(2) $\frac{1}{\ln 2}-1 < \frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.
设 $\left(2 E-C^{-1} B\right) A^T=C^{-1}$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位矩阵， $A^T$ 是 4 阶矩阵 $A$ 的转置矩阵，
$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {, }
$$
求 $A$.
已知 $\alpha_1=(1,4,0,2)^T, \alpha_2=(2,7,1,3)^T, \alpha_3=(0,1,-1, a)^T$ ， $\beta=(3,10, b, 4)^T$ ，问:
（1） $a, b$ 取何值时， $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
（2） $a, b$ 取何值时， $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示? 并写出此表示式.