设 $y=f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证: 存在 $x_0 \in(0,1)$ ，使得在区间 $\left[0, x_0\right]$ 上以 $f\left(x_0\right)$ 为高的矩形面积等于在区间 $\left[x_0, 1\right]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>-\frac{2 f(x)}{x}$ ，证明(1)中的 $x_0$ 是唯一的.