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设 $y=y(x)$ 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 $(x, y)$处的曲率为 $\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$, 且此曲线上的点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $y=x+1$ ，求该曲线的方程，并求函数 $y=y(x)$ 的极值.
                        
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