单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
下述各选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)^2$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n v_n\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $u_n \geq \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $u_n \geq v_n(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也收敛
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 非奇异 $(n \geq 2) ， A^*$ 是矩阵A 的伴随矩阵, 则
$\text{A.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|A|^{n-1} A$
$\text{B.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+1} A$
$\text{C.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$
$\text{D.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+2} \boldsymbol{A}$
设有任意两个 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ ，若存在两组不全为零的 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 和 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，使 $\left(\lambda_1+k_1\right) \alpha_1+\cdots+\left(\lambda_m+k_m\right) \alpha_m$ $+\left(\lambda_1-k_1\right) \beta_1+\cdots+\left(\lambda_m-k_m\right) \beta_m=0$ ，则
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 都线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 都线性无关
$\text{C.}$ $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \alpha_2-\beta_2$,$\cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \alpha_2-\beta_2$,$\cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性相关
设 $A, B$ 为任意两个事件且 $A \subset B, P(B)>0$, 则下列选项必然成立的是
$\text{A.}$ $P(A) < P(A \mid B)$
$\text{B.}$ $P(A) \leq P(A \mid B)$
$\text{C.}$ $P(A)>P(A \mid B)$
$\text{D.}$ $P(A) \geq P(A \mid B)$
已知 $0 < P(B) < 1$ 且 $\mathbf{P}\left[\left(A_1+A_2\right) \mid B\right]=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right) ，$则下列选项成立的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{P}\left[\left(A_1+A_2\right) \mid \bar{B}\right]=P\left(A_1 \mid \bar{B}\right)+P\left(A_2 \mid \bar{B}\right)$
$\text{B.}$ $P\left(A_1 B+A_2 B\right)=P\left(A_1 B\right)+P\left(A_2 B\right)$
$\text{C.}$ $P\left(A_1+A_2\right)=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right)$
$\text{D.}$ $P(B)=P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x=y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $\mathrm{d} y=$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $\left.y^{\prime \prime \prime}\right|_{x=\sqrt{3}}=$
设 $\int x f(x) \mathrm{d} x=\arcsin x+c$ ，则 $\int \frac{\mathrm{d} x}{f(x)}=$
设 $\left(x_0, y_0\right)$ 是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数 $a, b, c$ 应满足的关系是
行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}1-a & a & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1-a\end{array}\right|=$
设 $a_i \neq a_i(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$ ，
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
\end{array}\right), \boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{r}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right)
$$
则线性方程组 $A^T \boldsymbol{X}=B$ 的解是
一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 $i$个零件是不合格品的概率 $p_i=\frac{1}{i+1}(i=1,2,3)$ ，以 $X$ 表示 3 个零件中合格品的个数，则 $P(X=2)=$
设由来自正态总体 $\mathrm{x} \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$, 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 $\bar{X}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 有二阶连续导数，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$.
(1) 求 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 讨论 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续性.
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可微，且满足条件 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x,$
求证: 存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(b) $ 求证: 在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$.
已知一抛物线通过 $x$ 轴上的两点 $A(1,0), B(3,0)$.
(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.
设 $z=f(u)$ ，方 程 $u=\varphi(u)+\int_y^x p(t) \mathrm{d} t$ 确定 $u$ 是 $x, y$ 的函数，其中 $f(u), \varphi(u)$ 可微； $p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续，且 $\varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $p(y) \frac{\partial z}{\partial x}+p(x) \frac{\partial z}{\partial y}$.
设 $f(x, y)=\int_0^{x y} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ ，求
$\frac{x}{y} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\frac{y}{x} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} .$
设某种商品的单价为 $p$ 时，售出的商品数量 $Q$ 可以表示成 $Q=\frac{a}{p+b}-c$ ，其中 $a, b, c$ 均为正数，且 $a>b c$.
(1) 求 $p$ 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少;
(2) 要使销售额最大，商品单价 $p$ 应取何值? 最大销售额是多少?
求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}$ 的通解.
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-2 x_3+3 x_4=0 \\ 2 x_1+x_2-6 x_3+4 x_4=-1 \\ 3 x_1+2 x_2+p x_3+7 x_4=-1 \\ x_1-x_2-6 x_3-x_4=t\end{array}\right.$, 讨论参数 $p, t$ 取何值时，方程组有解? 无解? 当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.
设 4 阶方阵 $A$ 满足条件 $A A^T=2 E,|A| < 0$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位阵，求方阵 $A$ 的伴随阵 $A^*$ 的一个特征值.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，
(1) 已知 $A$ 的一个特征值为 3 ，试求 $y$ ；
(2) 求矩阵 $P$ ，使 $(A P)^T(A P)$ 为对角矩阵.
设向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系，向量 $\boldsymbol{\beta}$ 不是方程组 $\boldsymbol{A} X=0$ 的解，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta} \neq 0$ ，试证明：向量组 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{t}}$ ， 线性无关.
假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障，可获得利润 10 万元；发生一次故障仍可获得利润 5 万元；发生两次故障多获得利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏 2 万元，求一周内期望利润是多少?
考虑一元二次方程 $x^2+B x+C=0$, 其中 $B, C$ 分别是将一枚股子接连掷两次先后出现的点数. 求方程有实根的概率 $p$ 和有重根的概率 $q$.
某电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}>0$ 的指数分布. 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 $T$ 的概率分布.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $E X^k=\alpha_k(k=1,2,3,4)$ ，求证: 当 $n$ 充分大时，随机变量 $z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布，并求出其分布参数.