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设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可微，且满足条件 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x,$
求证: 存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$.
                        
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