单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F(x)=\frac{x^2}{x-a} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $\lim _{x \rightarrow a} F(x)$ 等于
$\text{A.}$ $a^2$
$\text{B.}$ $a^2 f(a)$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 不存在
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量
$\text{A.}$ $x^2$
$\text{B.}$ $1-\cos x$
$\text{C.}$ $\sqrt{1-x^2}-1$
$\text{D.}$ $x-\tan x$
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 仅有零解的充分条件是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性无关
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性相关
设 $A, B, A+B, A^{-1}+B^{-1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1}+B^{-1}$
$\text{B.}$ $A+B$
$\text{C.}$ $A(A+B)^{-1} B$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 均为 $n$ 维向量，那么下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=0$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$线性相关
$\text{B.}$ 若对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，都有$k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m \neq 0 \text { ， }$ 则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关，则对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=0$
$\text{D.}$ 若 $0 \alpha_1+0 \alpha_2+\ldots+0 \alpha_m=0$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关
设当事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时，事件 $C$ 必发生，则
$\text{A.}$ $P(C) \leq P(A)+P(B)-1$
$\text{B.}$ $P(C) \geq P(A)+P(B)-1$
$\text{C.}$ $P(C)=P(A B)$
$\text{D.}$ $P(C)=P(A \cup B)$
设 $n$ 个随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，
$D X_1=\sigma^2, \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，则
$\text{A.}$ $S$ 是 $\sigma$ 的无偏估计量
$\text{B.}$ $S$ 是 $\sigma$ 的最大似然估计量
$\text{C.}$ $S$ 是 $\sigma$ 的相合估计量(即一致估计量)
$\text{D.}$ $S$ 与 $\bar{X}$ 相互独立
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(\frac{x+t}{x-t}\right)^x$ ，则 $f^{\prime}(t)=$
设 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$, 则 $\varphi(x)=$ $\qquad$ 其定义域为
设商品的需求函数为 $Q=100-5 P$ ，其中 $Q, P$ 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1 ，则商品价格的取值范围是
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n}}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
交换积分次序 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
设 $A$ 为 $m$ 阶方阵， $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=a,|B|=b, C=\left(\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right)$, 则 $|C|=$
矩阵 $A=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ 的非零特征值是
设对于事件 $A, B, C$ 有 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(A B)=P(B C)=0, P(A C)=\frac{1}{8}$ ，则 $A, B, C$ 三个事件中至少出现一个的概率为
将 $C, C, E, E, I, N, S$ 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词 $S C I E N C E$ 的概率为 $\qquad$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi}{2} x}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1\end{array}\right.$ ，问函数 $f(x)$在 $x=1$ 处是否连续? 若不连续，修改函数在 $x=1$ 处的定义使之连续.
计算 $I=\int \frac{\operatorname{arccot} e^x}{e^x} \mathrm{~d} x$.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
\int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x .
$$
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x^2 .
$$
求证: 方程 $x+p+q \cos x=0$ 恰有一个实根，其中 $p, q$ 为常数，且 $0 < q < 1$.
给定曲线 $y=\frac{1}{x^2}$ ，
(1) 求曲线在横坐标为 $x_0$ 的点处的切线方程;
(2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
求证: 当 $x \geq 1$ 时，
$$
\arctan x-\frac{1}{2} \arccos \frac{2 x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4} .
$$
设曲线方程为 $y=e^{-x}(x \geq 0)$.
(1) 把曲线 $y=e^{-x} 、 x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x=\xi(\xi>0)$ 所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积 $V(\xi)$ ；并求满足 $V(a)=\frac{1}{2} \lim _{\xi \rightarrow+\infty} V(\xi)$ 的 $a$.
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
设 $z=\sin (x y)+\varphi\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $\varphi(u, v)$有二阶偏导数.
设生产某产品的固定成本为 10 ，而当产量为 $x$ 时的边际成本函数为
$$
M C=-40-20 x+3 x^2,
$$
边际收入函数为 $M R=32+10 x$ ，试求:
(1) 总利润函数；
(2) 使总利润最大的产量.
已知实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足条件:
(1) $A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式；
(2) $a_{11} \neq 0$.
计算行列式 $|\mathbf{A}|$.
设矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
2 & x & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$
(1) 求 $x$ 和 $y$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\mathrm{P}^{-1} A P=B$.
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{B} \neq 0$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 的每一个列向量都是以下方程组的解：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \\
3 x_1+x_2-x_3=0
\end{array}\right.
$$
(1) 求 $\lambda$ 的值;
(2) 证明 $|B|=0$
设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶正定矩阵，试判定分块矩阵
$C=\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$ 是否是正定矩阵.
假设测量的随机误差 $X \sim N\left(0,10^2\right)$, 试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 $\alpha$ ，并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).【附表】
一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 $0.10,0.20$ 和 0.30 ，假设各部件的状态相互独立，以 $X$ 表示同时需要调的部件数，试求 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望 $E X$ 和方差 $D X$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-y} & 0 < x < y \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求: (1) 随机变量 $X$ 的密度 $f_X(x)$ ；
(2) 概率 $P\{X+Y \leq 1\}$.