单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \left\lvert\, \frac{x+2}{x-3} \leqslant 0\right.\right\}, B=\left\{x \mid 2^x < 4\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(-2,2)$
$\text{B.}$ $[-2,2)$
$\text{C.}$ $(-2,2]$
$\text{D.}$ $[-2,2]$
复数 $z=a+b \mathrm{i}(a \neq 0, a, b \in \mathrm{R}) $, 满足 $(1-\mathrm{i}) z$ 为纯虚数, 则
$\text{A.}$ $a+b=0$
$\text{B.}$ $a-b=0$
$\text{C.}$ $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a-2 b=0$
样本数据 $5,7,4,6,12,10,11,9$ 的第 70 百分位数为
$\text{A.}$ 7
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 9.5
$\text{D.}$ 10
若 $x=a+\ln b, y=a+\frac{1}{2} \ln b, z=a+2 \ln b(b \neq 1)$ 成等比数列, 则公比为
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ $\frac{11}{15}$
$\text{D.}$ 2
甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学报名参加学校举办的三项不同活动, 每人只能报其中一项活动, 每项活动至少有一个人参加, 则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为
$\text{A.}$ $\frac{5}{18}$
$\text{B.}$ $\frac{6}{25}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{9}$
在 $\triangle A B C$ 中, $\sin (B-A)=\frac{1}{4}, 2 a^2+c^2=2 b^2$, 则 $\sin C=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, P$ 为线段 $C_1 D_1$ 上的动点, 则三棱椎 $P-B C D$外接球半径的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{29}}{4}, 2\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{21}}{4}, \sqrt{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\sqrt{41}}{1}, \sqrt{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{7}}{4}, \sqrt{3}\right]$
已知抛物线 $C$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^2, F$ 为其焦点, 点 $N$ 坐标为 $(0,-4)$, 过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点, $D$ 是 $x$ 轴上一点, 且满足 $|D A|=|D B|=|D N|$, 则直线 $A B$ 的斜率为
$\text{A.}$ $\pm \frac{\sqrt{15}}{2}$
$\text{B.}$ $\pm \frac{\sqrt{11}}{2}$
$\text{C.}$ $\pm \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\pm \sqrt{3}$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f_n(x)=\frac{1+x^n}{1-x^n}\left(n \in N^*\right)$, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $n=1$, 且 $f_1(a)+f_1(b)=0$, 则 $a b=1$
$\text{B.}$ 若 $n=2$, 且 $f_2(a)+f_2(b)=0$, 则 $a b=1$
$\text{C.}$ $f_n(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ $f_n(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增
已知 $O$ 为坐标原点, 点 $A(\cos \alpha, \sin \alpha), B(\cos \beta, \sin \beta), \alpha \neq \beta$. 若点 $C$ 满足 $|O C|=1, O C$ $\perp A B$, 则下列判断错误的是
$\text{A.}$ $C\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}, \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\triangle A O B$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \sin \alpha+\frac{1}{2} \sin \beta < \sin \frac{\alpha+\beta}{2}$
$\text{D.}$ $\vec{C} \vec{A} \cdot \overrightarrow{C B}>0$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $A=\{l(x) \mid l(x)=k x+m, k, m \in \mathbf{R}\}$, 若 $l_0(x) \in A$, 满足: 对任意 $l(x) \in A$, 均有 $\max _{x \in[a, b]}|f(x)-l(x)| \geqslant \max _{x \in[a, b]}\left|f(x)-l_0(x)\right|$, 则称 $l_0(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $x \in[a, b]$上“最接近”直线. 已知函数 $g(x)=2 \ln x-x^2+3, x \in[r, s]$.
(1)若 $g(r)=g(s)=0$, 证明: 对任意 $l(x) \in A, \max |g(x)-l(x)| \geqslant 1$;
(2)若$r=1,s=2$ 证明:$g(x)$ 在 $x \in [1,2]$上的“最接近”直线为
$l_0(x)=(2 \ln 2-3)\left(x-\frac{1+x_0}{2}\right)+\frac{2+g\left(x_0\right)}{2}$, 其中 $x_0 \in(1,2)$ 且为二次方程 $2 x^2+$ $(2 \ln 2-3) x-2=0$ 的根.