单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^2}, x \in(-1,1)$. 对任意 $x \in(-1,1)$,若在条件 $X=x$ 下, 随机变量 $Y$ 的条件分布律为
$$
\mathrm{P}\left(Y=-\sqrt{1-x^2}\right)=\mathrm{P}\left(Y=\sqrt{1-x^2}\right)=1 / 2,
$$
则 $Y$ ________ 连续型随机变量, $(X, Y)$ ________ 连续型随机向量.
$\text{A.}$ 是, 是
$\text{B.}$ 是, 不是
$\text{C.}$ 不是, 是
$\text{D.}$ 不是, 不是
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为一列独立同分布的随机变量, 且均服从参数为 $\lambda>0$ 的指数分布. 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 且 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则对任意 $x \in \mathbb{R}$, 有
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\frac{\sqrt{n}}{\lambda}(\bar{X}-\lambda) \leq x\right)=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\sqrt{\frac{n}{\lambda}}(\bar{X}-\lambda) \leq x\right)=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}(\sqrt{n}(\lambda \bar{X}-1) \leq x)=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\sqrt{n \lambda}\left(\bar{X}-\frac{1}{\lambda}\right) \leq x\right)=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 为已知常数,记 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则下列统计量中与 $\bar{X}$ 不独立的是
$\text{A.}$ 样本标准差
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则下列统计量中, ( ) 为 $\mu$ 的无偏估计且方差最小.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{6} X_3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{3} X_3$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2+\frac{2}{5} X_3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{7} X_1+\frac{2}{7} X_2+\frac{3}{7} X_3$
假设检验中, 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下若原假设 $H_0$ 被接受, 这说明
$\text{A.}$ 有充分的理由表明 $H_0$ 是正确的
$\text{B.}$ 没有充分的理由表明 $H_0$ 是错误的
$\text{C.}$ 有充分的理由表明 $H_1$ 是错误的
$\text{D.}$ 没有充分的理由表明 $H_1$ 是正确的
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在单位圆盘 $\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 上随机取两个点, 以随机变量 $X$ 表示它们之间的距离, 则 $\mathrm{E}\left(X^2\right)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自标准正态总体的简单随机样本, 且 $1 \leq m < n$, 则当常数 $c=$时, 统计量 $c\left(\sum_{i=1}^m X_i\right)^2 / \sum_{i=m+1}^n X_i^2$ 服从 $F$ 分布.
对一正态总体 $N(\mu, 100)$ 的均值 $\mu$ 求置信水平为 $95 \%$ 的置信区间, 若要求其区间长度不大于 4 , 则样本容量 $n$ 至少应取
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=0.4$, 且 $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\bar{B} \mid \bar{A})=1$, 则 $\mathrm{P}(A B)=$
甲乙二人抛郑一枚均匀的硬币, 甲抛了 101 次, 乙抛了 100 次, 则甲抛出的正面次数比乙多的概率是
设随机变量 $X, Y$ 和 $Z$ 相互独立, 且均服从参数为 1 的指数分布. 记
$$
U=\frac{X}{X+Y}, \quad V=\frac{X+Y}{X+Y+Z}, \quad W=X+Y+Z .
$$
(1) 计算随机向量 $(U, V, W)$ 的联合密度函数.
(2) 随机变量 $U, V$ 和 $W$ 是否相互独立? 请证明你的结论.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为 $F(t)=\left\{\begin{array}{cc}1-\exp \left\{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^m\right\}, & t \geq 0 ; \\ 0, & t < 0,\end{array}\right.$其中 $m>0$ 为已知参数, 而 $\theta>0$ 为未知参数. 随机取 $n$ 个这种元件, 测得它们的寿命分别为 $T_1, T_2, \cdots, T_n$. 记 $g(\theta)=\theta^m$.
(1) 试求 $g(\theta)$ 的极大似然估计 $\hat{g}\left(T_1, T_2, \cdots, T_n\right)$.
(2) 上述估计是否为无偏估计? 请证明你的结论.
中国科学技术大学 2019 级本科新生入学考试中, 某学院两个班级的英语科目各档成绩(从低到高)人数如下表所示:
我们能否认为这两个班级的英语水平大致相当? 显著性水平设为 $\alpha=0.05$.
附录:
$$
\begin{aligned}
& \Phi(1.645)=0.95, \Phi(1.96)=0.975 \\
& t_{15}(0.025)=2.131, t_{15}(0.05)=1.753, t_{16}(0.025)=2.12, t_{16}(0.05)=1.746 \\
& \chi_5^2(0.95)=1.145, \chi_5^2(0.05)=11.071, \chi_{15}^2(0.975)=6.262, \chi_{15}^2(0.025)=27.488 .
\end{aligned}
$$
经大量调查, 已知一般健康成年男子每分钟脉搏的次数服从正态分布 $N\left(72,6^2\right)$.现测得 16 例成年男子慢性铅中毒患者的脉搏平均 67 次/分钟, 标准差为 7 次/分钟.问在显著性水平 0.05 下, 这群患者每分钟脉搏的次数(假设也服从正态分布) 和正常人有无显著性差异? (要求对均值和方差都进行检验.)