设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 为已知常数,记 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则下列统计量中与 $\bar{X}$ 不独立的是
A. 样本标准差
B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
D. $X_1-X_2$