2024年全国硕士研究生招生考试（数学一）模拟考试

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2024年全国硕士研究生招生考试（数学一）模拟考试

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} g (x) \cos \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array}

且

g (0) = g^{'} (0) = 0

, 则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

连续但不可导.

B.

可导但

f^{'} (0) \neq 0

C.

极限存在但不连续.

D.

可微且

{d f (x) |}_{x = 0} = 0

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2. 设在极坐标系下, 区域的表示为

D = {(r, θ) ∣ 0 ⩽ θ ⩽ 2 π, r ⩽ 1}

, 记

\begin{aligned} I_{1} = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} (\cos r + r \cos θ + r \sin θ) r d r, \\ I_{2} = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} (\cos r^{2} - r \cos θ + r \sin θ) r d r, \\ I_{3} = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} (\cos r^{4} - r \cos θ - r \sin θ) r d r, \end{aligned}

则

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

C.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

D.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

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3. 设函数

y = y (x)

是微分方程

y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

的解, 在

x = 0

处

y (x)

取得极值 4 , 且

y^{''} (0) =

0 , 则

y (x) =

A.

(3 - 2 x^{2}) e^{x} + e^{- x}

B.

3 e^{x} + x e^{- x}

C.

(3 - 2 x) e^{x} + e^{- x}

D.

e^{x} + (3 - 2 x) e^{- x}

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4. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1) \ln (1 + \frac{1}{n^{α}})

绝对收敛, 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n^{1 - σ}}

条件收敛, 则

A.

α > \frac{5}{2}

B.

2 < α < 3

C.

\frac{1}{2} < α < 1

D.

α < 3

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5. 已知

A, B, C, D

都是 4 阶非零矩阵, 且

A B C D = O

, 如果

| B C | \neq 0

, 记

r (A) + r (B) + r (C) + r (D)

= r

, 则

r

的最大值是

A.

B.

C.

D.

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6. 三元一次方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + a x_{3} = 4 \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 4 \\ - x_{1} + a x_{2} + x_{3} = a^{2} \end{cases}

所代表的三平面不可能的位置关系为

A.

B.

C.

D.

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7. 矩阵

A = [\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]

,与

A

合同但不相似的矩阵为

A.

[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]

B.

[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]

C.

[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]

D.

[\begin{array}{ll} - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}]

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8. 已知随机变量

X_{1}

与

X_{2}

的分布函数分别为

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

. 我们假设: 如果

X_{i}

为离散型随机变量, 其概率分布为

X_{i} \sim (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 - p_{i} & p_{i} \end{array})

(即

X_{i}

服从参数为

p_{i}

的

0 - 1

分布,

0 < p_{i} < 1, i = 1, 2

).如果

X_{i}

为连续型随机变量, 其概率密度为

f_{i} (x) (i = 1, 2)

, 已知

F_{1} (x) ⩽ F_{2} (x)

, 则

A.

p_{1} ⩽ p_{2}

B.

p_{1} ⩾ p_{2}

C.

f_{1} (x) ⩽ f_{2} (x)

D.

f_{1} (x) ⩾ f_{2} (x)

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9. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

N (0, 1)

的简单随机样本, 记

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

, 则

D ({\bar{X}}^{2}) =

A.

\frac{1}{n^{2}}

B.

\frac{2}{n^{2}}

C.

\frac{3}{n^{2}}

D.

\frac{4}{n^{2}}

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10. 已知随机变量

X

的概率密度为

f (x)

, 则随机变量函数

Y = | X |

的概率密度

f_{Y} (y)

为

A.

f_{Y} (y) = f (y) + f (- y)

B.

f_{Y} (y) = \frac{f (y) + f (- y)}{2}

C.

f_{Y} (y) = {\begin{array}{cc} f (y) + f (- y), & y > 0, \\ 0, & y ⩽ 0 . \end{array}

D.

f_{Y} (y) = {\begin{array}{cc} \frac{f (y) + f (- y)}{2}, & y > 0, \\ 0, & y ⩽ 0 . \end{array}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设函数

z = f (x, y)

的二阶偏导数存在,

\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4

, 且

f (x, 0) = 2, f_{y}^{'} (x, 0) = x^{2}

, 则

f (x, y) =

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12. 积分

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 \cos θ} [(r \cos θ - 1)^{3} + r \sin θ] r d r =

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13. 设

Σ

为圆柱面

x^{2} + y^{2} = 4 (0 ⩽ z ⩽ 1)

, 则

\iint_{Σ} (x^{2} + y) d S =

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14. 设函数

z = f (x, y)

在点

(0, 2)

的某邻域内可微, 且

f (x, y + 2) = 2 + 3 x + 4 y + o (ρ)

, 其中

ρ =

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

, 则曲面

z = f (x, y)

在点

(0, 2)

处的全微分为

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15. 设

A

为 2 阶矩阵,

α_{1}, α_{2}

是矩阵

A

分别属于特征值 0,2 的特征向量, 则方程组

A x = α_{2}

的通解为

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16. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自标准正态总体

X

的简单随机样本, 记

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}, T = \bar{X} - S

, 则

E (T^{2}) =

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}, g^{'} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}

, 且

f (0) = g (0) = 0

, 试求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{g (x)}]

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18. 讨论方程

\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1} = a

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

内根的个数.

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19. 求

x = \cos t (0 < t < π)

将方程

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + y = 0

化为

y

关于

t

的微分方程, 并求满足

{y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

的解.

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20. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} 2 (1 - x y) d y d z + (x + 1) y d z d x - 4 y z^{2} d x d y,

其中

Σ

是弧段

{\begin{cases} z = \sqrt{x - 1}, \\ y = 0 \end{cases}, (1 ⩽ x ⩽ 3)

绕

x

轴旋转一周所得的旋转曲面,

Σ

上任一点的法向量与

x

轴正向夹角大于

\frac{π}{2}

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21. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = {(x_{1} - 2 x_{2})}^{2} + {(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(x_{1} + a x_{3})}^{2}

.
(1) 求

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0

的解;
(2) 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的规范形为

z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

, 求正交变换

x = Q y

, 使得二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

化为标准形.

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22. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} 2 (x - θ) e^{- (x - θ)^{2}}, & x > θ, \\ 0, & x ⩽ θ, \end{cases} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为来自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求参数

θ

的矩估计量;
(2) 设

U = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

, 求

E (U)

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23. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{- \cot x}{e^{- x}} + \frac{1}{e^{- 2 x} \sin^{2} x} + \frac{1}{x^{2}})

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