单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $|A|=\frac{1}{2}$ ，则行列式 $\left|-2 A^*\right|$ 等于
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，满足 $A=A^2$ ，若 $A \neq E$ ，则
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $|A|=1$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 满秩
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 4 & 2\end{array}\right), C=A B^{-1}$ ， 则 $C^{-1}$ 的第 3 行第1列的元素为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2$ $+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3 ， a$ 是使二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 正定的正整 数，则必有
$\text{A.}$ $a=2$
$\text{B.}$ $a=1$
$\text{C.}$ $a=3$
$\text{D.}$ 以上选项都不对
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
5 阶行列式中，项 $a_{24} a_{31} a_{52} a_{13} a_{45}$ 前面的符号为
设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 1\end{array}\right|, A_{4 i}(i=1,2,3,4)$ 是 $D$ 的第 4 行元素的代数余子式，则 $A_{41}+2 A_{42}-A_{43}+2 A_{44}$ 等 于
设 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right) ， A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，且 $R(A)=2$ ，则 $R(A B)=$
若向量组 $\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2=(1,3,-1), \alpha_3=(5,3, t)$ 线性 相关，则 $t=$
设 $A$ 是 3 阶实的对称矩阵， $\alpha=\left(\begin{array}{c}m \\ -m \\ 1\end{array}\right)$ 是线性方程组 $A x=0$ 的解， $\beta=\left(\begin{array}{c}m \\ 1 \\ 1-m\end{array}\right)$ 是线性方程组 $(A+E) x=0$ 的 解，则常数 $m=$
设 $A$ 和 $B$ 是 3 阶方阵， $A$ 的 3 个特征值分别为 $-3,3,0$ ， 若 $E+B=A B$ ，则行列式 $\left|B^{-1}+2 E\right|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关， $\alpha+2 \beta, 2 \beta+k \gamma, \beta+3 \gamma$ 线性相 关，求 $k$.
设 $A=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 3 & 0\end{array}\right)$ ，若 $R(A B+B)=2$ ， 求 $a$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -4 & t & 0 \\ 6 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，且 $A, B$ 相似， 求 $a$ 与 $t$ 的值.
求向量组
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
3 \\
1 \\
2
\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
7 \\
14
\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
2 \\
0
\end{array}\right)
$$
的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示.
问 $a$ 满足什么条件，才能使得 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 共有两个线 性无关的特征向量?
问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+3 x=\lambda, \\ 4 x_1+x_2+2 x_3=\lambda+2 \\ 6 x_1+x_2+4 x_3=2 \lambda+3\end{array}\right.$ 无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解.
求实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3
$$
的秩，并求正交变换 $x=P y$ ，化二次型为标准形.
“设 $A$ 是 $n$ 阶实的反对称矩阵，则对于任何 $n$ 维实的列向 量 $\alpha ， \alpha$ 和 $A \alpha$ 正交，且 $A-E$ 可逆”. 你认为该结论成立吗? 请说明理由.
设矩阵 $A$ 满足 $2 A^{-1} B=2 B+E$ ，
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2}
\end{array}\right),
$$
试求出 $A-E$ 的第 2 行的元素.