2024年安徽财经大学《线性代数》模拟试卷六

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2024年安徽财经大学《线性代数》模拟试卷六

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

为 3 阶矩阵，且

| A | = \frac{1}{2}

，则行列式

| - 2 A^{*} |

等于

A.

-2

B.

- \frac{1}{2}

C.

-1

D.

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2. 矩阵

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

的逆矩阵为

A.

(\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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3. 设

A

是

n

阶非零矩阵，满足

A = A^{2}

，若

A \neq E

，则

A.

| A | = 0

B.

| A | = 1

C.

A

可逆

D.

A

满秩

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4. 设

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 2 \end{array}), C = A B^{- 1}

，则

C^{- 1}

的第 3 行第1列的元素为

A.

B.

C.

D.

-1

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5. 设

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2}

+ 2 a x_{1} x_{3} + 2 a x_{2} x_{3} ， a

是使二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

正定的正整数，则必有

A.

a = 2

B.

a = 1

C.

a = 3

D.

以上选项都不对

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 5 阶行列式中，项

a_{24} a_{31} a_{52} a_{13} a_{45}

前面的符号为

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7. 设

D = | \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \end{array} |, A_{4 i} (i = 1, 2, 3, 4)

是

D

的第 4 行元素的代数余子式，则

A_{41} + 2 A_{42} - A_{43} + 2 A_{44}

等于

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8. 设

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array}) ， A

为

4 \times 3

矩阵，且

R (A) = 2

，则

R (A B) =

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9. 若向量组

α_{1} = (1, 1, 0), α_{2} = (1, 3, - 1), α_{3} = (5, 3, t)

线性相关，则

t =

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10. 设

A

是 3 阶实的对称矩阵，

α = (\begin{matrix} m \\ - m \\ 1 \end{matrix})

是线性方程组

A x = 0

的解，

β = (\begin{matrix} m \\ 1 \\ 1 - m \end{matrix})

是线性方程组

(A + E) x = 0

的解，则常数

m =

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11. 设

A

和

B

是 3 阶方阵，

A

的 3 个特征值分别为

- 3, 3, 0

，若

E + B = A B

，则行列式

| B^{- 1} + 2 E | =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 若

α, β, γ

线性无关，

α + 2 β, 2 β + k γ, β + 3 γ

线性相关，求

k

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13. 设

A = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & - 1 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ - 1 & 3 & 0 \end{array})

，若

R (A B + B) = 2

，求

a

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14. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ - 4 & t & 0 \\ 6 & 0 & 3 \end{array})

，且

A, B

相似，求

a

与

t

的值.

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15. 求向量组

α_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}), α_{2} = (\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}), α_{3} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 7 \\ 14 \end{matrix}), α_{4} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示.

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16. 问

a

满足什么条件，才能使得

A = (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

共有两个线性无关的特征向量?

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17. 问

λ

为何值时，线性方程组

{\begin{matrix} x_{1} + 3 x = λ, \\ 4 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = λ + 2 \\ 6 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = 2 λ + 3 \end{matrix}

无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解.

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18. 求实二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} - 8 x_{2} x_{3}

的秩，并求正交变换

x = P y

，化二次型为标准形.

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19. “设

A

是

n

阶实的反对称矩阵，则对于任何

n

维实的列向量

α ， α

和

A α

正交，且

A - E

可逆”. 你认为该结论成立吗? 请说明理由.

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20. 设矩阵

A

满足

2 A^{- 1} B = 2 B + E

，

B = (\begin{array}{ccc} 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array}),

试求出

A - E

的第 2 行的元素.

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