单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 3\}, B=\{0,1,2,3,4,5\}$, 则 $\left(\complement_{\mathbf{R}} A\right) \cap B=$
$\text{A.}$ $\{4,5\}$
$\text{B.}$ $\{0,4,5\}$
$\text{C.}$ $\{3,4,5\}$
$\text{D.}$ $\{0,3,4,5\}$
命题“ $\exists x_0>0,-x_0^2+2 x_0-1>0$ ” 的否定为
$\text{A.}$ $\exists x_0>0,-x_0^2+2 x_0-1 \leqslant 0$
$\text{B.}$ $\exists x_0 \leqslant 0,-x_0^2+2 x_0-1>0$
$\text{C.}$ $\forall x>0,-x^2+2 x-1 \leqslant 0$
$\text{D.}$ $\forall x < 0,-x^2+2 x-1>0$
三名同学到五个社区参加社会实践活动, 要求每个社区有且只有一名同学, 每名同学至多去 两个社区,则不同的派法共有
$\text{A.}$ 90 种
$\text{B.}$ 180 种
$\text{C.}$ 125 种
$\text{D.}$ 243 种
已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,1), \boldsymbol{b}=(x-1, x)(x>1)$, 且 $|\boldsymbol{b}|=\sqrt{5}$, 若 $(m \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{4}$
已知点 $P(4,3)$ 是角 $\alpha$ 的终边上一点. 则 $\tan \frac{a}{2}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\pm \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ 3 或 $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 3
如图, 长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B=B C=2$, 若直线 $A B_1$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 则直线 $B C_1$ 与直线 $A C$ 所成的角为
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $30^{\circ}$
$\text{C.}$ $45^{\circ}$
$\text{D.}$ $60^{\circ}$
若直线 $l: k x-y+2-k=0$ 与圆 $C: x^2+y^2-4 x-2 y-4=0$ 交于 $A, B$ 两点, 则当 $\triangle A B C$ 周 长最小时, $k=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
已知 $a>0$, 若对任意的 $x>0, a \cdot \mathrm{e}^{a x-1} \geqslant \frac{\ln x}{\mathrm{e}}$ 恒成立, 则实数 $a$ 的最小值为
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^2$
$\text{D.}$ $\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念, 投人大量科研经费进行技术革新,该企业统计了最近 6 年投入的年科研经费 $x$ (单位: 百万 元) 和年利润 $y$ (单位: 百万元) 的数据, 并绘制成如图所示的散点图. 已知 $x, y$ 的平均值分别为 $\bar{x}=7, \bar{y}=10$. 甲统计员得到的回归方程为 $\hat{y}=$ 1. $69 x+\hat{a}$; 乙统计员得到的回归方程为 $\hat{y}=2.52 \mathrm{e}^{0.17 x}$; 若甲、乙二人计 算均末出现错误, 则以下结论正确的为
$\text{A.}$ 当投入年科经费为 20 (百万）按乙统计员的回归方程可得年 利润估计值为 75.6 (百万元) (取 $\mathrm{e}^{3.4}=30$ )
$\text{B.}$ $\hat{a}=-1.83$
$\text{C.}$ 方程 $\hat{y}=1.69 x+\hat{a}$ 比方程 $\hat{y}=2.52 \mathrm{e}^{0.17 x}$ 拟合效果好
$\text{D.}$ $y$ 与 $x$ 正相关
已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的偶函数 $f(x)$ 的图象是连续不间断的曲线, 且 $f(x+2)+f(x)=f(1)$, 对任意的 $x_1, x_2 \in[-2,0], x_1 \neq x_2, \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}>0$ 恒成立, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增
$\text{B.}$ $f(x)$ 是以 4 为周期的函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称
$\text{D.}$ $f(x)$ 在区间 $[-100,100]$ 上的零点个数为 100
将函数 $f(x)=2 \cos ^2 \frac{x}{2}-\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$, 再向左平移 $\varphi$ $(\varphi>0)$ 个单位长度, 得到函数 $g(x)$ 的图象, 若对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 均有 $g(x) \leqslant g\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 成立, 则
$\text{A.}$ $g(x)$ 的地大值为 1
$\text{B.}$ $\varphi$ 的最小值为 $\frac{\pi}{12}$
$\text{C.}$ $g(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right)$ 上单调递增
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 均有 $g(x) \geqslant g\left(\frac{7 \pi}{12}\right)$ 成立
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 其一条渐近线为 $y=\sqrt{3} x$, 直线 $l$ 过点 $F_2$ 且与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点, $M, N$ 分别为 $\triangle A F_1 F_2$ 和 $\triangle B F_1 F_2$ 的 内心, 则
$\text{A.}$ 直线 $l$ 倾斜角的取值范围为 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$
$\text{B.}$ 点 $M$ 与点 $N$ 始终关于 $x$ 轴对称
$\text{C.}$ 三角形 $M N F_2$ 为直角三角形
$\text{D.}$ 三角形 $M N F_2$ 面积的最小值为$a^2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $z=\frac{1-a \mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数单位) 为纯虚数, 则实数 $a$ 的值为
已知函数 $f(x)$ 满足: (1) 对 $\forall m, n>0, f(m)+f(n)=f(m n)$; (2) $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$. 请写出一个符 合上述两个条件的函数 $f(x)=$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_{11}>S_{10}>S_{12}$, 则满足 $S_n>0$ 的正整数 $n$ 的 为
在三棱锥 $S-A B C$ 中, 底面 $\triangle A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形, $S A=A B$, 点 $M$ 为 $\triangle S A B$ 的 垂心, 且 $C M \perp$ 平面 $S A B$, 则三棱雉 $S-A B C$ 的外接球的体积为
在(1) $a_{n+1}=2 a_n+1$; (2) $S_n=2^{n+1}-n-2$; (3) $S_n=2 a_n-n$ 三个条件中任选一个, 补充 到下面问题的横线处, 并解答.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1=1$,
(1) 求 $a_n$;
(2) 设 $b_n=n a_n$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
注: 如果选择多个条件解答, 按第一个解答计分.
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边, 向量 $\boldsymbol{m}=(\sin B-\sin A, \sin C-$ $\sin A), \boldsymbol{n}=(a+c, b)$, 且 $\boldsymbol{m} / / \boldsymbol{n}$.
(1) 求角 $C$;
(2) 若 $b-4, \triangle A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}, D$ 为 $B C$ 中点, 求线段 $A D$ 的长.
如图, 梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, \angle A B C=\frac{\pi}{2}, B C=C D=2, A D=\sqrt{5}, D E \perp A B$, 垂 足为点 $E$, 将 $\triangle A E D$ 沿 $D E$ 折起, 使得点 $A$ 到点 $P$ 的位置, 且 $P E \perp E B$, 连接 $P B, P C, M$, $N$ 分别为 $P C$ 和 $E B$ 的中点.
(1) 证明: $M N / /$ 平面 $P E D$;
(2) 求二面角 $D-M N-C$ 的正弦值.
乒乓球是我国的国球, “乒兵精神”激励了一代又一代国人.为弘扬国球精神,传承乒 乓球文化, 强健学生体魄, 某中学举行了乒乓球单打比赛. 比赛采用 7 局 4 胜制, 每局比赛为 11 分制, 选手只要得到至少 11 分, 并且领先对方至少 2 分 (包括 2 分), 即赢得该局比赛. 在 一局比赛中, 每人只发 2 个球就要交换发球权, 如果双方比分为 $10: 10$ 后, 每一个球就要交 换一个发球权, 经过紧张的角逐, 甲、乙两位选手进入了决赛.
(1) 若甲贏得每局比赛的概率为 $\frac{2}{3}$, 求甲以 $4: 1$ 贏得比赛的概率;
(2) 若在某一局比赛中, 双方战成 $10: 10$, 且甲获得了第一球的发球权, 若甲发球时甲贏 1 分 的概率为 $\frac{3}{4}$, 乙发球时甲贏 1 分的概率为 $\frac{1}{2}$, 求两人打了 $\xi(\xi \leqslant 5, \xi \in \mathbf{N})$ 个球后, 甲贏得了该 局比赛的概率.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$, 且经过点 $A(\sqrt{6}, \sqrt{15})$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 若过点 $M(3,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $N$, 求 $\triangle M N Q$ 面积的最大值.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x-1$.
(1) 当 $a=1$ 时,求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明: 当 $a \leqslant 2$ 时, $f(x)>1-(\sin x+\cos x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立.