单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为三阶方阵, 将 $A$ 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 $B$, 再交换矩阵 $B$ 的第 2 行与第 3 行得到矩阵 $C$, 记
$$
P_1=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], P_2=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right], \quad \text { 则 } \boldsymbol{C}=(\quad) \text {. }
$$
$\text{A.}$ $P_2 A P_1$
$\text{B.}$ $P_1 A P_2$
$\text{C.}$ $A P_1 P_2$
$\text{D.}$ $P_2 P_1 A$
设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵, $B$ 为 $n \times m$ 型矩阵, $E$ 为 $m$ 阶单 位阵,若 $A B=E$ ，则有
$\text{A.}$ $r(A)=m, r(\mathrm{~B})=m$
$\text{B.}$ $r(A)=m, r(B)=n$
$\text{C.}$ $r(A)=n, r(\mathrm{~B})=m$
$\text{D.}$ $r(A)=n, r(\mathrm{~B})=n$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 且 $|A| \neq 0$, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 对 $n$ 阶方阵 $B$, 若 $|B|=|A|$, 则 $A, B$ 有相同的特征值
$\text{B.}$ 对 $n$ 阶方阵 $B$, 若 $A B=0$, 则 $B=0$
$\text{C.}$ 对 $n$ 阶方阵 $B$, 若 $A B=B A$, 则 $B \neq 0$
$\text{D.}$ 对任意非零向量 $X=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ 都有 $X^{\mathrm{T}} A X>0$
已知三维向量 $\alpha_1=\left[\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array}\right]$, 则三条直 线 $\left\{\begin{array}{l}l_1: a_1 x+b_1 y=c_1 \\ l_2: a_2 x+b_2 y=c_2 \\ l_3: a_3 x+b_3 y=c_3\end{array}\right.$ (其中 $a_i^2+b_i^2 \neq 0, i=1,2,3$ )交于 一点的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{C.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的基, 则由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$, 且 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$
已知 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 7 \\ 4 & -3 & 5 & 9\end{array}\right|, A_{\imath j}(i, j=1,2,3,4)$ 为 $D$ 的代数余子式, 则 $3 A_{41}+4 A_{42}-A_{43}+7 A_{44}=$
设 $A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$, 则 $|B|=$.
已知方阵 $A$ 满足 $A^2-3 A+2 E=0, E$ 为单位矩阵, 则 $(A+E)^{-1}=$
设 $A=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 7 & 2 & 1 \\ 5 & 8 & 4 & 5\end{array}\right], B$ 为 4 阶方阵，且 $r(B)=4$ ，则 $r(A B)=$
已知三阶方阵 $A$ 的特征值是 $\lambda, 2,3$, 且有 $|2 A|=144$, 则 $\lambda=$
已知向量 $\alpha=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ k\end{array}\right]$, 若矩阵 $\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 相似于矩阵 $\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$, 则 $k=$
$$
\text { 设 } \alpha_1=(1,2,-1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(1,1,0,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(2,1,1, a)^{\mathrm{T}} \text { ， }
$$
若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 则 $a=$
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2+2 \lambda x_1 x_2$ 正定, 则 $\lambda$ 满足的条件为.
设 $A$ 为 $4 \times 5$ 矩阵, 且 $r(A)=4$, 又设向量 $p_1, p_2$ 是齐次 线性方程组 $A X=0$ 的两个不同的解向量, 则方程组 $A X=0$ 的通解为 $X=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
设向量组: $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}-9 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}2 \\ -8 \\ 2 \\ 2\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 3 \\ -7 \\ 3\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 4 \\ -6\end{array}\right]$, 求此向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余的向量用该 极大线性无关组表示.
求直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z-1=0 \\ x+y-z+1=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x+2 y-z=0$ 上 的投影方程.
设 $A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & a & b & 1\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$, 已知 $\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是线性方程组 $A X=b$ 的一个解, 求线性方程组 $A X=b$ 的通解.
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 矩阵 $X$ 满足如 下矩阵表达式: $A X A+B X B=A X B+B X A+E$, , 其中 $E$ 为三阶单位矩阵, 求矩阵 $X$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_2^2-2 x_1 x_2+8 x_1 x_3-2 x_2 x_3$,
(1) 用正交变换 $X=P Y$ 将二次型化为标准形(求出正交矩 阵 $P$ );
(2) 说明方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在几何上表示什么图形.
(1) 设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵, 求证: $r\left(A^{\mathrm{T}} A\right)=r(A)$.
(2) 设 $A$ 为三阶方阵, 向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量, 而 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$. 求证: 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关.