填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算系数行列式 $\operatorname{det}\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]$
$\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 10 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]=$
考虑系数线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2-3 x_3-4 x_4=-5 \\ 3 x_1-x_2+5 x_3+6 x_4=-1 \\ -5 x_1-3 x_2+x_3+2 x_4=11\end{array}\right.$ ，写出该方程的通解
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right]$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right], A^{-1}=$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right], \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $A$ 的列向量，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $A^{\top}$ 的列向量，已知它们构成 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，设列向量 $\alpha \in \mathbb{R}^3$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $(1,1,0)$ ，则 $\alpha$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$下的坐标为
设系数矩阵 $A=\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ ，则 $A^{-1}=$
设 4 阶方阵 $A$ 满足 $(I-A)^3=0$ ，则 $\operatorname{rank}(I-A)$ 的最大值是 () ，使用 $A$ 的多项式表示 $(2 I-A)^{-1}=()$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设实系数矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -3 & -4 & -5 \\ 3 & -1 & 5 & 6 & -1 \\ -5 & -3 & 1 & 2 & 11 \\ -9 & -4 & -1 & 1 & 1\end{array}\right]$ 。
（1）记 $\alpha_j, j=1,2,3,4,5$ 是 $A$ 的列向量，写出该向量组的一个极大线性无关组。
（2）记 $\beta_i, i=1,2,3,4$ 是 $A$ 的行向量，写出该向量组的一个极大线性无关组，并说明判断理由。
求行列式并完全分解因式 $\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc}1 & a^2 & a^3 & a^4 \\ 1 & b^2 & b^3 & b^4 \\ 1 & c^2 & c^3 & c^4 \\ 1 & d^2 & d^3 & d^4\end{array}\right]$
设 $A, B, C$ 是同阶方阵，判断 $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ll}O & O \\ C & O\end{array}\right]$ 是否乘法可交换，若是，证明之；若否，给出反例。
设实系数矩阵 $A=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A^n$ 与 $A^{-1}$ 。
设系数矩阵 $A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right]$ ，设 $V=\left\{X \in \mathbb{R}^{4 \times 2} \mid A X=O\right\}$ ，求 $V$ 的一组基，并给出矩阵方程 $A X=B$ 的所有解。
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$ ，证明：$V=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times p} \mid A X=O\right\}$ 是 $\mathbb{F}^{n \times p}$ 的一个线性子空间。
设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵，证明存在 $f(x) \in \mathbb{F}[x]$ 使得 $f(A)=O$ 。
证明：分块矩阵 $\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right] \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$ ，等号成立当且仅当存在矩阵 $D, E$ 使得 $C=D A+B E$ 。
证明：如果 $A$ 是对称矩阵，则对 $\forall x \in \mathbb{R}^n, A x=0$ 当且仅当 $A^2 x=0$ 。
证明：如果 $A$ 是对称矩阵，则对 $\forall n \in \mathbb{N}, \operatorname{rank}\left(A^n\right)=\operatorname{rank}(A)$ 。