设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right], \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $A$ 的列向量，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $A^{\top}$ 的列向量，已知它们构成 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，设列向量 $\alpha \in \mathbb{R}^3$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $(1,1,0)$ ，则 $\alpha$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$下的坐标为