下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

如图，几何体是由一个圆锥和一个长方体组成，它的主视图是

若分式 $\frac{1}{x-3}$ 有意义，则 x 的取值范围是

如果点 $P(1-x, x-3)$ 在平面直角坐标系的第三象限内，那么 $x$ 的取值范围在数轴上可表示为

2025 年春运期间，铁路杭州站共发送旅客 10900000 人次．其中 10900000用科学记数法可以表示为

下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是

如图，$A, B$ 是 $\odot O$ 上的点，$A^{\prime}, B^{\prime}$ 是 $\odot O$ 外的点，$\triangle A O B$ 和 $\triangle A^{\prime} O B^{\prime}$ 是位似图形，位似中心为点 $O$ ，点 $A, B$ 对应点是点 $A^{\prime}, B^{\prime}, O B^{\prime}$ 交 $\odot O$ 于点 $C$ ，若 $O C=2 B^{\prime} C, A B=2$ ，则 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的长为

如图，抛物线 $y=a x^2+b x+1$ 的顶点在直线 $y=k x+1$ 上，对称轴为直线 $x=1$ ，有以下四个结论：（1）$a b < 0$ ，（2）$b < \frac{1}{3}$ ，（3）$a=-k$ ，（4）当 $0 < x < 1$ 时，$a x+b>k$ ，其中正确的结论是

分解因式： $4 a^2-1=$

如图，在矩形 $A B C D$ 中，$B C=2 A B$ ，点 M 为边 $B C$ 上的一个动点，线段 $A M$绕点 A 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $A N$ ，连接 $M N, D N$ ．当线段 $D N$ 的长度最小时，$\angle M N D$ 的度数为 $\_\_\_\_$ ${ }^{\circ}$

若关于 $x, y$ 的方程 $(n-1) x^{|n|}+3 y=0$ 是二元一次方程，则 $n$ 的值为

在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的位置如图所示，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(0,2)$ ．延长 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $A_1$ ，作正方形 $A_1 B_1 C_1 C$ ；延长 $C_1 B_1$ 交 $x$ 轴于点 $A_2$ ，作正方形 $A_2 B_2 C_2 C_1, \cdots \cdots$ ，按这样的规律进行下去，正方形 $A_{2025} B_{2025} C_{2025} C_{2024}$的面积为

如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为＂果圆＂，已知点 $A, \sim B, \sim C, \sim D$ 分别是＂果圆＂与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 $y=x^2-4 x-12, A B$ 为半圆的直径，则这个＂果圆＂被 $y$ 轴截得的弦 CD 的长为 $\_\_\_\_$。

现有一组数据： $5, ~ 6, ~ 6, ~ 7, ~ 9, ~ 9$ ，方差为 $S_1$ ；去掉数字 7 得到一组新的数据，方差为 $S_2$ ；则 $S_1$ $\_\_\_\_$ $S_2$

如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，$\triangle A^{\prime} B D$ 与 $\triangle A B D$ 关于 $B D$ 对称，$A^{\prime} B$ 交 $C D$于点 $F$ ．

（1）仅用无刻度直尺作 $\triangle B D F$ 的中线 $C D$ ；
（2）在（1）所作图形中，求证 $F E \perp B D$ ．

化简求值：$\frac{x^2-2 x+1}{x^2-1} \div\left(\frac{x-1}{x+1}-x+1\right)$ ，其中 $x$ 为不等式组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{2}-\frac{x}{3} < \frac{2}{3} \\ 2 x-1 \geq-5\end{array}\right.$ 的整数解．

某初中要调查学校学生（学生总数 2000 人）双休日的学习状况，采用下列调查方式
①从七年级选取200名学生：
②某个时间段去操场选取200名学生：
③选取不同年级的200名女学生：
④按照一定比例在不同年级里随机选取200名学生.



（1）上述调查方式中合理的是 $\_\_\_\_$ ，（填写序号）
（2）调查小组将得到的数据制成频数直方图（如图 1）和扇形统计图（如图 2），可知，在这个调查中， 200 名学生双休日在家学习的有 $\_\_\_\_$人。
（3）请估计该学校 2000 名学生双休日学习时间不少于 4 小时的人数．

某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表


（1）嘉嘉同学三项成绩的众数为 $\_\_\_\_$分，琪琪同学三项成绩的中位数为
$\_\_\_\_$分；
（2）如果体育中考按自选项目占 $30 \%$ 、长跑占 $50 \%$ 、跳绳占 $20 \%$ 计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高；
（3）补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率 ．

＂轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中＂，8D 魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的＂轻轨穿梭＂成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡 $C D$ 底端 $C$ 距离轻轨所穿楼栋 $A B$ 底端 $A$ 处 30 米远，斜坡 $C D$ 长为 42 米，坡角为 $30^{\circ}, D E \perp C E$ ，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端 $C$ 处 12 米的 $M$ 处挖去部分坡体修建一个平行于水平线 $C E$ 的观景平台 $M N$ 和一条新的坡角为 $45^{\circ}$ 的斜坡 $D N$ 。



（1）求观景平台 $M N$ 的长；（结果保留根号）
（2）小育在 $N$ 处测得轻轨所穿楼栋 $A B$ 顶端 $B$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，点 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ 在同一个平面内，点 $A 、 C 、 E$ 在同一条直线上，且 $A B \perp A E$ ，求轻轨所穿楼栋 $A B$ 的高度．

如图所示，一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m \neq 0)$ 的图象相交于点 $A(-2,4), B(a,-2)$ ．


（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点 $C(t,-2)$ 是第三象限内一点，$\triangle A B C$ 的面积为 24 ，求点 $C$ 的坐标；
（3）在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形 $A O C D$ 与正方形 $A^{\prime} O^{\prime} C D^{\prime}$是位似图形，点 $O$ 的对应点为 $O^{\prime}(-3,0)$ ，点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 在 $y=\frac{m}{x}$ 的图象上，求位似中心的坐标．

当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20 元。根据以往经验：当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元。
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 $y$（本）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围。
（2）书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 $a(0 < a \leq 6)$ 元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为 1960 元，求 $a$ 的值．

在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $H, G$ 为线段 $O D$ ， OB 上两动点，且保持 $\angle \mathrm{DAH}=\angle \mathrm{OAG}$ ，延长 AH 交 CD 于点 F ，延长 AG 交 BC于点 $E$ ．


（1）求证：$\triangle A H G \backsim \triangle A E F$
（2）当 $C E=3, C F=4$ 时，求四边形 $E F H G$ 的面积

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+a x+b$ 的顶点为 $A(1,-4)$ ，与 y 轴交于点 $C(0,-3)$ ，交 × 轴于另一点 B ．


（1）求二次函数解析式；
（2）若点 P 是直线 $B C$ 下方抛物线上的一个动点（不与点 B ，点 C 重合），过点 P 作直线 $P D$ 垂直 × 轴于点 D ，交直线 $B C$ 于点 E ．当 $P E$ 最大时，求 P 点坐标及 $P E$ 的最大值；
（3）当二次函数 $y=x^2+a x+b$ 的自变量 × 满足 $m \leq x \leq m+1$ 时，此函数的最大值为 p ，最小值为 q ，且 $p-q=2$ ，求出 m 的值．

综合与实践
【问题提出】
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？

【实验探究】
（1）获得猜想
观察图 ① 至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：

过 $\_\_\_\_$的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）．
① 对边相等；
② 一组对边平行；
③ 对角线相等；
④对角互补；




（2）推理证明
已知：在四边形 $A B C D$ 中，$\angle B+\angle D=180^{\circ}$
求证：过点 $A, B, C, D$ 可作一个圆．
证明：假设过点 $A, B, C, D$ 不能作一个圆．
如图 ⑤，过 $A, B, C$ 三点作 $\odot O$ ，点 $D$ 不在圆上．
若点 $D$ 在 $\odot O$ 外，

$A D$ 与 $\odot O$ 交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则 $\angle B+\angle A E C=$ ① $\_\_\_\_$。

$$
\begin{aligned}
& \because \angle B+\angle D=180^{\circ} \\
& \therefore \angle A E C=\angle D,
\end{aligned}
$$


而 $\angle A E C$ 是 $\triangle C D E$ 的外角，
$\therefore \angle A E C$ ② $\_\_\_\_$ $\angle D$ ．出现矛盾，故假设不成立．

所以点 $D$ 在过 $A, B, C$ 三点的圆上．
同理可证点 $D$ 在 $\odot O$ 内的情况．

【应用结论】
（3）如图 ⑥，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 交于点 $E, \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$ ， $A C$ 平分 $\angle B A D$ ．
① 若 $\angle B A C=30^{\circ}$ ，求 $\angle C B D$ 的度数．
② 若 $C E=3, A E=5$ ，求线段 $B C$ 的长．