综合与实践
【问题提出】
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？

【实验探究】
（1）获得猜想
观察图 ① 至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：

过 $\_\_\_\_$的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）．
① 对边相等；
② 一组对边平行；
③ 对角线相等；
④对角互补；




（2）推理证明
已知：在四边形 $A B C D$ 中，$\angle B+\angle D=180^{\circ}$
求证：过点 $A, B, C, D$ 可作一个圆．
证明：假设过点 $A, B, C, D$ 不能作一个圆．
如图 ⑤，过 $A, B, C$ 三点作 $\odot O$ ，点 $D$ 不在圆上．
若点 $D$ 在 $\odot O$ 外，

$A D$ 与 $\odot O$ 交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则 $\angle B+\angle A E C=$ ① $\_\_\_\_$。

$$
\begin{aligned}
& \because \angle B+\angle D=180^{\circ} \\
& \therefore \angle A E C=\angle D,
\end{aligned}
$$


而 $\angle A E C$ 是 $\triangle C D E$ 的外角，
$\therefore \angle A E C$ ② $\_\_\_\_$ $\angle D$ ．出现矛盾，故假设不成立．

所以点 $D$ 在过 $A, B, C$ 三点的圆上．
同理可证点 $D$ 在 $\odot O$ 内的情况．

【应用结论】
（3）如图 ⑥，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 交于点 $E, \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$ ， $A C$ 平分 $\angle B A D$ ．
① 若 $\angle B A C=30^{\circ}$ ，求 $\angle C B D$ 的度数．
② 若 $C E=3, A E=5$ ，求线段 $B C$ 的长．