单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
如图所示，在倾角 $\theta=30^{\circ}$ 的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为 1 kg 和 2 kg的可视为质点的小球 $A$ 和 $B$ ，两球之间用一根长 $L=0.2 \mathrm{~m}$ 的轻杆相连，小球 $B$ 距水平面的高度 $h=0.1 \mathrm{~m}$ ．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ．则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 整个下滑过程中 $A$ 球机械能守恒
$\text{B.}$ 整个下滑过程中 $B$ 球机械能守恒
$\text{C.}$ 整个下滑过程中 $A$ 球机械能的增加量为 $\frac{2}{3} \mathrm{~J}$
$\text{D.}$ 整个下滑过程中 $B$ 球机械能的增加量为 $\frac{2}{3} \mathrm{~J}$
如图所示，质量分别为 $m 、 2 m 、 m$ 的三个物体 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 通过轻绳与劲度系数为 $k$的轻弹簧相连接，并均处于静止状态。现在将 B、C 之间的细绳剪断，弹簧始终在弹性限度内，不考虑一切阻力，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 在 C 落地前， $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 三者组成的系统机械能守恒
$\text{B.}$ 剪断细绳前，弹簧的伸长量为 $x=\frac{m g}{k}$
$\text{C.}$ 剪断细绳后，当 B 的速度最大时 B 增加的重力势能为 $\frac{2 m^2 g^2}{k}$
$\text{D.}$ 剪断细绳瞬间， $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 的加速度大小为 $\frac{g}{2}$
如图所示，质量为 $m$ 的小球，用轻软细绳系在边长为 $a$ 的正方形截面木柱的边 $A$处（木柱水平放置，图中画斜线部分为其坚直横截面），软绳长 $4 a$ ，质量不计，它所能承受的最大拉力为 6 mg 。开始绳呈水平状态，若以坚直向下的初速度 $v_0$ 抛出小球，为使绳能绕在木柱上，且小球始终沿圆弧运动，最后击中 $A$ 点，则小球允许的初速度 $v_0$ 范围为
$\text{A.}$ $\sqrt{3 g a} \leq v_0 \leq \sqrt{7 g a}$
$\text{B.}$ $\sqrt{4 g a} \leq v_0 \leq \sqrt{7 g a}$
$\text{C.}$ $\sqrt{4 g a} \leq v_0 \leq \sqrt{10 g a}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3 g a} \leq v_0 \leq \sqrt{10 g a}$
如图所示，小滑块 $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 的质量均为 $m, \mathrm{P}$ 套在固定光滑坚直杆上， Q 放在光滑水平面上。 $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 间通过铰链用长为 $L$ 的轻杆连接，轻杆与坚直杆的夹角为 $\alpha$ ，一水平轻弹簧左端与 Q 相连，右端固定在坚直杆上。当 $\alpha=30^{\circ}$ 时，弹簧处于原长， P 由静止释放，下降到最低点时 $\alpha$ 变为 $60^{\circ}$ ，整个运动过程中， $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 始终在同一坚直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 $g$ 。则 P 下降过程中
$\text{A.}$ $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 组成的系统机械能守恒
$\text{B.}$ 弹簧弹性势能最大值为 $\frac{\sqrt{3}-1}{2} m g L$
$\text{C.}$ 坚直杆对滑块 P 的弹力始终大于弹簧弹力
$\text{D.}$ 滑块 P 的动能达到最大时，Q 受到地面的支持力大于 $2 m g$
多选题 （共 7 题 ），每题有多个选项正确
如图所示，质量分别为 $m$ 和 $2 m$ 的两个小球 $a$ 和 $b$ ，中间用轻质杆相连，在杆的中点 $O$ 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在 $b$ 球顺时针摆动到最低位置的过程中
$\text{A.}$ $b$ 球的重力势能减少，动能增加，$b$ 球机械能守恒
$\text{B.}$ $a$ 球的重力势能增加，动能也增加，$a$ 球机械能不守恒
$\text{C.}$ $a$ 球、 $b$ 球组成的系统机械能守恒
$\text{D.}$ $a$ 球、 $b$ 球组成的系统机械能不守恒
如图所示，有一光滑轨道 $A B C, A B$ 部分为半径为 $R$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆弧，$B C$ 部分水平，质量均为 $m$ 的小球 $a 、 b$ 固定在坚直轻杆的两端，轻杆长为 $R$ ，不计小球大小．开始时 $a$ 球处在圆弧上端 $A$ 点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a$ 球下滑过程中机械能保持不变
$\text{B.}$ $a 、 b$ 两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变
$\text{C.}$ $a 、 b$ 滑到水平轨道上时速度为 $\sqrt{2 g R}$
$\text{D.}$ 从释放到 $a 、 b$ 滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对 $a$ 球做的功为 $\frac{m g R}{2}$
如图所示，一根长为 $L$ 不可伸长的轻绳跨过光滑的水平轴 $O$ ，两端分别连接质量为 $2 m$ 的小球 $A$ 和质量为 $m$ 的物块 $B$ ，由图示位置释放后，当小球转动到水平轴正下方时轻绳的中点正好在水平轴 $O$ 点，且此时物块 $B$ 的速度刚好为零，则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 物块 $B$ 一直处于静止状态
$\text{B.}$ 小球 $A$ 从图示位置运动到水平轴正下方的过程中机械能守恒
$\text{C.}$ 小球 $A$ 运动到水平轴正下方时的速度大于 $\sqrt{g L}$
$\text{D.}$ 小球 $A$ 从图示位置运动到水平轴正下方的过程中，小球 $A$ 与物块 $B$ 组成的系统机械能守恒
重 10 N 的滑块在倾角为 $30^{\circ}$ 的光滑斜面上，从 $a$ 点由静止下滑，到 $b$ 点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到 $c$ 点开始弹回，返回 $b$ 点离开弹簧，最后又回到 $a$ 点，已知 $a b=1 \mathrm{~m}, b c=0.2 \mathrm{~m}$ ，那么在整个过程中（ ）
$\text{A.}$ 滑块动能的最大值是 6 J
$\text{B.}$ 弹簧弹性势能的最大值是 6 J
$\text{C.}$ 从 $c$ 到 $b$ 弹簧的弹力对滑块做的功是 6 J
$\text{D.}$ 整个过程系统机械能守恒
如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板 C 相连，另一端与物体 A 相连。物体 A 置于光滑固定斜面上，斜面的倾角 $\theta=30^{\circ}$ 。A 上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体 B 相连且始终与斜面平行。开始时托住 B，A 静止且细线恰好伸直，然后由静止释放 B 。已知物体 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 的质量均为 $m$ ，弹簧的劲度系数为 $k$ ，当地重力加速度为 $g$ ，B 始终末与地面接触。从释放 B 到 B 第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是 。
$\text{A.}$ 刚释放物体 B 时，物体 A 受到细线的拉力大小为 $\frac{m g}{2}$
$\text{B.}$ 物体 A 到最高点时， A 所受合力大小为 $m g$
$\text{C.}$ 物体 B 下落至最低点时，A 和弹簧组成系统的机械能最大
$\text{D.}$ 物体 A 的最大速度为 $\sqrt{\frac{m g^2}{2 k}}$
如图，长为 $L=1.0 \mathrm{~m}$ 的不可伸长轻绳一端系于固定点 $O$ 。另一端系一质量 $m=0.5 \mathrm{~kg}$ 的小球，将小球从 $O$ 点左侧与 $O$ 点等高的 $A$ 点以一定初速度 $v_0$ 水平向右抛出，经一段时间后小球运动到 $O$ 点有下方的 $B$ 点时，轻绳刚好被拉直，此后小球以 $O$为圆心在坚直平面内做圆周运动。已知 $O 、 A$ 的距离为 $L_{O A}=0.2 \mathrm{~m}$ ，轻绳刚被拉直时与坚直方向的夹角为 $37^{\circ}$ 。重力加速度取 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。 $\sin 37^{\circ}=0.6$ ，不计空气阻力。下列说法正确的是
$\text{A.}$ 小球抛出时的初速度大小 $v_0=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{B.}$ 轻绳被拉直前瞬间小球的速度为 $2 \sqrt{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{C.}$ 小球做圆周运动摆到最低点时的动能为 6 J
$\text{D.}$ 小球做圆周运动摆到最低点时，轻绝对小球的拉力大小为 7.32 N
如图所示，有两条位于同一坚直平面内的光滑水平轨道，相距为 $h$ ，轨道上有两个物体 A 和 B ，质量均为 $m$ ，它们通过一根绕过定滑轮 $O$ 的不可伸长的轻绳相连接。在轨道间的绳子与轨道成 $45^{\circ}$ 角的瞬间，物体 A 在下面的轨道上的运动速率为 $v$ 。此时绳子 $B O$ 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴 $P$ 与绳子分离。设绳长 $B O$ 远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 位于图示位置时物体 B 的速度大小为 $\sqrt{2} v$
$\text{B.}$ 小水滴 $P$ 与绳子分离的瞬间做平抛运动
$\text{C.}$ 在之后的运动过程中当轻绳 $O B$ 与水平轨道成 $90^{\circ}$ 角时，物体 B 的动能为 $\frac{3}{2} m v^2$
$\text{D.}$ 小水滴 $P$ 脱离绳子时速度的大小为 $v$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图所示，一个半径为 $R$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆周的轨道，$O$ 点为圆心，$B$ 为轨道上的一点， $O B$ 与水平方向的夹角为 $37^{\circ}$ ．轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧左端与坚直挡板相连，弹簧原长时右端在 $A$ 点．现用一质量为 $m$ 的小球（与弹簧不连接）压缩弹簧至 $P$ 点后释放．已知重力加速度为 $g$ ，不计空气阻力．
（1）若小球恰能击中 $B$ 点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能；
（2）试通过计算判断小球落到轨道时速度能否与圆弧垂直；
（3）改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值．
如图所示，坚直固定的四分之一粗糙圆轨道下端 $B$ 点水平，半径 $R_l=1 \mathrm{~m}$ ，质量 $M=1 \mathrm{~kg}$ 的长薄板静置于倾角 $\theta=37^{\circ}$ 的粗糙斜面 $C D$ 上，其最上端刚好在斜面顶端 $C$ 点。一质量为 $m=1.5 \mathrm{~kg}$的滑块（可看做质点）从圆轨道 $A$ 点由静止滑下，运动至 $B$ 点时对轨道的压力大小为 $F_N=39 \mathrm{~N}$ ，接着从 $B$ 点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与坚直固定的光滑半圆轨道 $D E$ 底端粘接在一起。已知斜面 $C D$ 长 $L_2=7.875 \mathrm{~m}$ ，薄板长 $L_l=2.5 \mathrm{~m}$ ，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数 $\mu_l=0.25$ ，滑块与长薄板间的动摩擦因数为 $\mu_2=0.5$ ，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，$g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ， $\sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$ ，试求：
（1）滑块运动至 $B$ 点时速度大小 $v$ 及滑块由 $A$ 到 $B$ 运动过程中克服摩擦力做的功 $W_f$ ；
（2）滑块运动到 $D$ 点时的速度大小；
（3）如果要使滑块不会中途脱离坚直半圆轨道 $D E$ ，其半径 $R_2$ 需要满足什么条件？
如图所示，四分之一光滑圆弧轨道和水平传送带固定在同一坚直平面内，圆弧轨道半径 $R=5.0 \mathrm{~m}$ ，其底端切线水平且通过一段光滑水平轨道与传送带连接，传送带长度为 L ，离地高度为 $h_1=1.5 \mathrm{~m}$ ，沿逆时针方向转动的速度为 $v=6.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在距传送带右侧水平距离 $d=1.0 \mathrm{~m}$ 处有一离地高度 $h_2=1.3 \mathrm{~m}$ 的平台。一质量 $m=2.0 \mathrm{~kg}$ 的小物块（可视为质点）从圆弧顶点处由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数 $\mu=0.5$ ，不计物块经过轨道连接处时的动能损失，且传送带转动轮足够小，$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，求：
（1）若传送带长度为 $L_1=6.4 \mathrm{~m}$ ，请通过计算判断物块能否到达右侧平台；
（2）若传送带长度为 $L_2=12 \mathrm{~m}$ ，物块能否返回圆弧轨道？若能，求物块在圆弧轨道能上升的最大高度 $H$ 。
如图所示，倾角 $\theta=37^{\circ}$ 的斜面固定在水平面上，斜面顶点 $B$ 处固定一个厚度不计的挡板，挡板与斜面垂直，挡板上端固定着光滑圆弧轨道 $E F, O$ 点为圆心，$F$ 在 $O$ 点正上方，$O F=R$ ， $O E$ 垂直斜面。在斜面下端 $A$ 点静置着一块长为 $2 R$ 、质量为 $m$ 的木板，木板的厚度与斜面上端挡板的高度相同，在木板左端静置着一可视为质点的、质量也为 $m$ 的木块。若同时给木板和木块一个沿斜面向上的相同的初速度 $v_0=\frac{12}{5} \sqrt{g R}$ ，木板和木块将保持相对静止沿斜面减速上滑，木板上端恰好能运动到 $B$ 点；现对静止的木板施加沿斜面向上的恒力 $F=2 m g$ ，同时给木块一初速度 $v_0$ ，木板运动到斜面上端与挡板相撞后粘在一起的同时撤去 $F$ ，木块恰好能运动到木板上端边缘。已知木板与斜面间的动摩擦因数 $\mu_1=0.5$ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 $g, \sin 37^{\circ}=0.6$ 。求：
（1）斜面长度 $s$ ；
（2）木块与木板间的动摩擦因数 $\mu_2$ ；
（3）如果 $s$ 的大小可以改变，要使木板能在与木块共速前到达 $B$ 端且木块进入圆弧 $E F$ 后不脱离圆弧，试确定 $s$ 的取值范围。
