单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
抛物线 $y=2 x^2$ 的焦点坐标为
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{8}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{8}, 0\right)$
某大学开设篮球、足球等 5 门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程．现有小明、小强、小红 3 位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有
$\text{A.}$ 36 种
$\text{B.}$ 50 种
$\text{C.}$ 75 种
$\text{D.}$ 125 种
已知函数 $f(x)$ 的导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示，则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有最小值
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有最大值
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有且仅有三个零点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有且仅有两个极值点
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，已知 $a_2=2, a_4 a_6=2^8$ ，则公比 $q=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\pm 2$
已知抛物线 $x^2=4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 为抛物线上动点，点 $Q$ 为圆 $(x-1)^2+(y-4)^2=1$ 上动点，则 $|P Q|+|P F|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 2
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^x-x^2(a \in \mathbf{R})$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{4}{\mathrm{e}^2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{2}{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{2}{\mathrm{e}^2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{4}{\mathrm{e}}\right)$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(\sin x-\cos x), x \in(0,2013 \pi)$ ，则函数 $f(x)$ 的极大值之和为
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{e}^{2 \pi}\left(1-\mathrm{e}^{2012 \pi}\right)}{\mathrm{e}^{2 \pi}-1}$
$\text{B.}$ $\frac{\mathrm{e}^\pi\left(1-\mathrm{e}^{1006 \pi}\right)}{1-\mathrm{e}^\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{e}^\pi\left(1-\mathrm{e}^{1006 \pi}\right)}{1-\mathrm{e}^{2 \pi}}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}^\pi\left(1-\mathrm{e}^{2012 \pi}\right)}{1-\mathrm{e}^{2 \pi}}$
已知某正三棱柱的外接球的表面积为 $8 \pi$ ，则该正三棱柱的体积的最大值为
$\text{A.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
以下四个命题表述正确的是
$\text{A.}$ 直线 $m x+4 y-12=0(m \in \mathbf{R})$ 恒过定点 $(0,3)$
$\text{B.}$ 圆 $C: x^2+y^2-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $4 x-3 y+3=0$ 的距离为 2
$\text{C.}$ 圆 $C_1: x^2+y^2+2 x=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2-4 x-8 y+4=0$ 恰有三条公切线
$\text{D.}$ 两圆 $x^2+y^2+4 x-4 y=0$ 与 $x^2+y^2+2 x-12=0$ 的公共弦所在的直线方程为 $x+2 y+6=0$
已知曲线 $C: y^2=|x|+1$ ，则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 曲线 $C$ 既是轴对称图形，又是中心对称图形
$\text{B.}$ 曲线 $C$ 上的点与原点的最小距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ 曲线 $C$ 在第一、四象限的任意一点到点 $\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$ 的距离与其横坐标之差为定值 $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ 直线 $l: y=k x+b$ ，则该直线与曲线 $C$ 无公共点的充要条件为 $k=0$ 且 $b \in(-1,1)$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+2}\left(a_{n+1}-a_n\right)=a_n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，记 $T_n=a_1 a_2+a_2 a_3 +\cdots+a_n a_{n+1}, T_{10}=\frac{10}{11}$ ，则
$\text{A.}$ $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是等差数列
$\text{B.}$ $a_{2025}=\frac{2024}{2025}$
$\text{C.}$ $T_n < 1$
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^{50} a_i>3$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若曲线 $y=f(x)=\ln x+\frac{3}{2} x$ 在 $x=2$ 处的切线的倾斜角为 $\alpha$ ，则 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=$
若不等式 $(-1)^n a < 2+\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 对于任意正整数 $n$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作双曲线的一条渐近线的垂线 $l$ ，垂足为 $M$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的另一条渐近线交于点 $N$ ，且 $\overrightarrow{O N}+3 \overrightarrow{O M}=4 \overrightarrow{O F}$（ $O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的离心率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，$A B=3, A C=2, D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $A D$ 平分 $\angle B A C$ ．
（1）若 $B C=3$ ，求 $\frac{A D}{C D}$ ；
（2）若 $\angle B A C=\frac{\pi}{3}$ ，求线段 $A D$ 的长．
如图，三棱锥 $P-A B C$ 由三个以 $C$ 为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板 $A B C$ 和 $P A C$ 为两个全等的直角三角板，且 $\angle B A C= \frac{\pi}{6}, E, F$ 分别为 $P A, P C$ 的中点，平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ．
（1）证明：$l \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）点 $Q$ 在直线 $l$ 上，直线 $P Q$ 与直线 $E F$ 的夹角为 $\alpha$ ，直线 $P Q$ 与平面 $B E F$ 的夹角为 $\beta$ ，是否存在点 $Q$ ，使得 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ ？如果存在，请求出 $|B Q|$ ；如果不存在，请说明理由．
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，公差为 $d(d \neq 0)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_n, b_n=a_n a_{n+1}-2 S_n$ ．
（1）求证：数列 $\left\{b_{n+1}-b_n\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $\left\{b_n\right\}$ 也是等差数列，求数列 $\left\{\frac{a_{2 n-1} \cdot 3^n}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F(\sqrt{3}, 0)$ 为双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点，以 $F$ 为圆心， 1 为半径的圆与双曲线 $C$ 的渐近线相切．
（1）求 $C_1$ 的方程；
（2）记 $C_1$ 的左、右顶点为 $A, B$ ．弦 $P Q \perp x$ 轴，记直线 $P A$ 与直线 $Q B$ 交点为 $M$ ，其轨迹为曲线 $C_2$ ．
（i）求 $C_2$ 的方程；
（ii）直线 $l_1, l_2$ 是曲线 $C_2$ 的任意两条切线，且 $l_1 / / l_2$ ，试探究在 $x$ 轴上是否存在定点 $G$ ，满足点 $G$ 到 $l_1, l_2$ 的距离之积恒为 1 ？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
设函数 $f(x)=x^2-a x-a^2 \ln x(a \in \mathbf{R})$ ．
（1）当 $a=2$ 时，讨论函数 $y=f(x)$ 的单调性；
（2）当 $a \neq 0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=m$ 交于 $A\left(x_1, m\right), B\left(x_2, m\right)$ 两点，求证：$f^{\prime}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>0$ ；
（3）证明：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1} < \frac{1}{2} \ln n\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．