设函数 $f(x)=x^2-a x-a^2 \ln x(a \in \mathbf{R})$ ．
（1）当 $a=2$ 时，讨论函数 $y=f(x)$ 的单调性；
（2）当 $a \neq 0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=m$ 交于 $A\left(x_1, m\right), B\left(x_2, m\right)$ 两点，求证：$f^{\prime}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>0$ ；
（3）证明：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1} < \frac{1}{2} \ln n\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．