已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，公差为 $d(d \neq 0)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_n, b_n=a_n a_{n+1}-2 S_n$ ．
（1）求证：数列 $\left\{b_{n+1}-b_n\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $\left\{b_n\right\}$ 也是等差数列，求数列 $\left\{\frac{a_{2 n-1} \cdot 3^n}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．