已知曲线 $C: y^2=|x|+1$ ，则下列判断正确的是
A. 曲线 $C$ 既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 曲线 $C$ 上的点与原点的最小距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 曲线 $C$ 在第一、四象限的任意一点到点 $\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$ 的距离与其横坐标之差为定值 $\frac{3}{2}$
D. 直线 $l: y=k x+b$ ，则该直线与曲线 $C$ 无公共点的充要条件为 $k=0$ 且 $b \in(-1,1)$