在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F(\sqrt{3}, 0)$ 为双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点，以 $F$ 为圆心， 1 为半径的圆与双曲线 $C$ 的渐近线相切．
（1）求 $C_1$ 的方程；
（2）记 $C_1$ 的左、右顶点为 $A, B$ ．弦 $P Q \perp x$ 轴，记直线 $P A$ 与直线 $Q B$ 交点为 $M$ ，其轨迹为曲线 $C_2$ ．
（i）求 $C_2$ 的方程；
（ii）直线 $l_1, l_2$ 是曲线 $C_2$ 的任意两条切线，且 $l_1 / / l_2$ ，试探究在 $x$ 轴上是否存在定点 $G$ ，满足点 $G$ 到 $l_1, l_2$ 的距离之积恒为 1 ？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．