如图，三棱锥 $P-A B C$ 由三个以 $C$ 为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板 $A B C$ 和 $P A C$ 为两个全等的直角三角板，且 $\angle B A C= \frac{\pi}{6}, E, F$ 分别为 $P A, P C$ 的中点，平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ．
（1）证明：$l \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）点 $Q$ 在直线 $l$ 上，直线 $P Q$ 与直线 $E F$ 的夹角为 $\alpha$ ，直线 $P Q$ 与平面 $B E F$ 的夹角为 $\beta$ ，是否存在点 $Q$ ，使得 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ ？如果存在，请求出 $|B Q|$ ；如果不存在，请说明理由．