单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{\frac{2}{a_n+1}\right\}$ 为等差数列，且 $a_1=1, a_4=-\frac{1}{2}$ ，则 $a_{2023}=$
$\text{A.}$ $\frac{2021}{2023}$
$\text{B.}$ $-\frac{2021}{2023}$
$\text{C.}$ $\frac{2019}{2021}$
$\text{D.}$ $-\frac{2019}{2021}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{(n+1) a_n}{a_n+n}, a_1+a_1 a_2+\mathrm{L}+a_1 a_2 \mathrm{~L} a_n < m(m \in \mathbf{R})$ 恒成立，则 $m$ 的最小值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
图 1 是中国古代建筑中的举架结构，$A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}, D D^{\prime}$ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 $D D_1, C C_1, B B_1, A A_1$ 是举，$O D_1, D C_1, C B_1, B A_1$ 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 $\frac{D D_1}{O D_1}=0.5, \frac{C C_1}{D C_1}=k_1, \frac{B B_1}{C B_1}=k_2, \frac{A A_1}{B A_1}=k_3$ 。已知 $k_1, k_2, k_3$ 成公差为 0.1 的等差数列，且直线 $O A$的斜率为 0.725 ，则 $k_3=()$
$\text{A.}$ 0.75
$\text{B.}$ 0.8
$\text{C.}$ 0.85
$\text{D.}$ 0.9
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$ ，满足 $\frac{1}{S_n}=\frac{2 a_n}{a_n^2+1}$ 对 $n \in \mathrm{~N}^*$ 成立，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $a_1= \pm 1$
$\text{B.}$ $\left\{a_n\right\}$ 一定是递减数列
$\text{C.}$ 数列 $\left\{S_n^2\right\}$ 是等差数列
$\text{D.}$ $a_{2023}=\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_n=\left(a_n-n\right)(n+1)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n-b_{n-1}=\frac{a_n}{2}\left(n \in \mathrm{~N}^*, n \geq 2\right)$ 且 $a_1-b_1=1,\left\{\frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明： $1 \leq T_n < 2$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n=\frac{1}{3}(n+2) a_n$ ，且 $a_1=1$ ．
（1）求证：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）求数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，满足 $a_n=2 \sqrt{S_n}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=a_n \cos \frac{2 n \pi}{3}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $3 n+1$ 项和 $T_{3 n+1}$ ．
已知正项数列 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_1=1, S_n$ 是其前 $n$ 项和，且满足 $S_{n+1}=\left(\sqrt{S_n}+S_1\right)^2$
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式：
（2）已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=(-1)^{n+1} \frac{a_n+1}{a_n a_{n+1}}$ ，设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求 $T_{\mathrm{n}}$ 的最小值
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_n>0, a_2=3 a_1$ ，且数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 是等差数列，证明：$\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_n+1, n \text { 为奇数，} \\ a_n+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_n=a_{2 n}$ ，写出 $b_1, b_2$ ，并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的前 20 项和．
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ ，且 $d>1$ ．令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$ ，记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）若 $3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$ ，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$ ，求 $d$ ．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$b_n=\left\{\begin{array}{l}a_n-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的前 $n$ 项和，$S_4=32, T_3=16$ 。
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n>5$ 时，$T_n>S_n$ ．