单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \in \mathbf{R} \left\lvert\, \frac{x-3}{x+1} < 0\right.\right\}, B=\left\{x \in \mathbf{R} \mid 3^x < 1\right\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(3,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-1,0)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-1) \cup(0,+\infty)$
已知复数 $z=\frac{5 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是
$\text{A.}$ $\frac{5}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2}$
将函数 $f(x)=\cos x-\sin x$ 的图象向左平移 $\varphi(0 < \varphi < \pi)$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象，若 $g(x)$ 为奇函数，则实数 $\varphi$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，$A C=6$ ，若底面 $A B C$ 水平放置时，水面恰好过侧棱 $A A_1$ 的中点，当侧面 $A A_1 B_1 B$ 水平放置时，水面恰好与 $A C$ 交于点 $D$ ，则 $A D$ 等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $6-3 \sqrt{2}$
平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为 1 ，则 $(a-c) \cdot b=$
$\text{A.}$ -5
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 $40 \%, 30 \%, 35 \%$ ，且这三个年级的教师人数之比为 $3: 3: 4$ ，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为
$\text{A.}$ 0.35
$\text{B.}$ 0.32
$\text{C.}$ 0.45
$\text{D.}$ 0.36
已 知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a^{x-4} & x \geqslant 5 \\ -x^2+2 a x-19 & x < 5\end{array}\right.$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=f(n), n \in \mathbf{N}^*$ ，则＂$\left\{a_n\right\}$ 为递增数列＂是＂ $4 \leqslant a < 5$＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ $\because$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分又不必要条件
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F_2(2,0)$ ，若圆 $M:(x+2)^2+(y-6)^2=4$ 上存在点 $P$ 使得 $P F_2$ 的中点在 $C$ 的渐近线上，则 $C$ 的离心率的取值范围为
$\text{A.}$ $[2,+\infty)$
$\text{B.}$ $[3,+\infty)$
$\text{C.}$ $(1,2]$
$\text{D.}$ $(1,3]$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
下列说法正确的是
$\text{A.}$ 不存在三个事件 $A, B, C$ 两两对立
$\text{B.}$ 若三个事件 $A, B, C$ 两两互斥，则 $P(A)+P(B)+P(C) \leqslant 1$
$\text{C.}$ 给定事件 $A, B, C$ ，且 $P(C)>0$ ，则 $P(A \cup B \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C)$
$\text{D.}$ 已知数据 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 的极差为 4 ，方差为 2 ，则数据 $2 x_1+1,2 x_2+1, \cdots, 2 x_{10}+1$ 的极差和方差分别为 8,4
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=\sqrt{3}(n-1)+1$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $n b_n=S_n$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left\{b_n\right\}$ 是公差为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的等差数列
$\text{B.}$ $b_{2026}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 中的项
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$ 是单调递增数列
$\text{D.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 中存在三项能构成等比数列
已知函数 $f(x)=2 \ln x+k x^2-5, g(x)=2 x^2 \ln x$（参考数据： $\mathrm{e}^3=20.086, \ln 2=0.693, \ln 5=$ 1．609），下列说法正确的是
$\text{A.}$ 当 $k=-1$ 时，$f(x)$ 的最小值为 6
$\text{B.}$ 若 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\mathrm{e}^{-6}\right]$
$\text{C.}$ 若 $g(x)=a$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，则 $x_1^2+x_2^2>\frac{2}{\mathrm{e}}$
$\text{D.}$ 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 恒成立，则 $k$ 的最大整数值为 2
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $(x+y)^n$ 的展开式共有 9 项，则展开式中 $x^2 y^6$ 的系数为
已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上位于 $y$ 轴异侧的两点，且 $|A F|=3, \triangle O A B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 $|A B|=$
函数 $f(x)=\sin 2 x+\frac{1}{2} \sin 4 x$ 的值域为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b=2 c, a=3 \sqrt{7}$ ．向量 $\boldsymbol{m}=(\sqrt{3} b, a)$ ， $n=(\cos A, \sin B), m \perp n$ ，点 $M$ 在边 $B O$ 上，$A M$ 是角 $A$ 的平分线．
（1）求角 $A$ ；
（2）求 $A M$ 的长．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，侧面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D, \triangle P A D$为正三角形，$E, F$ 分别是棱 $A D, D C$ 的中点，点 $G$ 在侧棱 $P D$ 上，且 $P G: G D=3: 1$ ．
（1）求证：$P B / /$ 平面 $E F G$ ；
（2）若 $P B \perp B C$ ，求二面角 $F-E G-D$ 的余弦值．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $A(-2,0), B(2,0)$ ．过点 $M(1,0)$ ，斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $C, D$ 两点，直线 $A C, B D$ 分别与直线 $x=1$ 交于点 $E, G$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）求 $\frac{|E M|}{|G M|}$ 的值．
已知函数 $f(x)=\ln x+m x$ ．
（1）若直线 $2 x-y-1=0$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $m$ 的值；
（2）讨论 $f(x)$ 的零点个数；
（3）若方程 $f(x)=x$ 有两个解 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$ ，证明：$\exists x_3, x_4 \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_3\right) f^{\prime}\left(x_4\right)=1$ ．
在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列 $A$ ，现定义一个简单的加密算法 $H_k$ ，它的作用是在第 $k\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 轮对密钥片段进行一次变换。具体变换规则如下：若 $k$ 为奇数，则 $H_k$ 将在第 $k$ 轮变换中让序列 $A_{k-1}$ 的奇数项的值增加 1 ，偶数项的值减少 $k$ ；若 $k$ 为偶数，则 $H_k$ 将在第 $k$ 轮变换中让序列 $A_{k-1}$ 的奇数项的值增加 $2 k$ ，偶数项的值减少 2 ．若初始密钥序列 $A_0=[0,0,0,0,0,0,0,0], A_n=H_n\left(A_{n-1}\right) \left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则加密序列 $A_n$ 的所有项之和为 $a_n$ ．已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且满足 $3 T_n= 4 b_n-1$ ．
（1）写出 $A_4$ ，并求出 $b_n$ ；
（2）求 $a_n$ ；
（3）证明：$\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{a_{2 k}\left(a_{2 k}+2\right)}{b_k}} < 66$ ．