已知函数 $f(x)=\ln x+m x$ ．
（1）若直线 $2 x-y-1=0$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $m$ 的值；
（2）讨论 $f(x)$ 的零点个数；
（3）若方程 $f(x)=x$ 有两个解 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$ ，证明：$\exists x_3, x_4 \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_3\right) f^{\prime}\left(x_4\right)=1$ ．