在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列 $A$ ，现定义一个简单的加密算法 $H_k$ ，它的作用是在第 $k\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 轮对密钥片段进行一次变换。具体变换规则如下：若 $k$ 为奇数，则 $H_k$ 将在第 $k$ 轮变换中让序列 $A_{k-1}$ 的奇数项的值增加 1 ，偶数项的值减少 $k$ ；若 $k$ 为偶数，则 $H_k$ 将在第 $k$ 轮变换中让序列 $A_{k-1}$ 的奇数项的值增加 $2 k$ ，偶数项的值减少 2 ．若初始密钥序列 $A_0=[0,0,0,0,0,0,0,0], A_n=H_n\left(A_{n-1}\right) \left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则加密序列 $A_n$ 的所有项之和为 $a_n$ ．已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且满足 $3 T_n= 4 b_n-1$ ．
（1）写出 $A_4$ ，并求出 $b_n$ ；
（2）求 $a_n$ ；
（3）证明：$\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{a_{2 k}\left(a_{2 k}+2\right)}{b_k}} < 66$ ．