单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^n \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 其中 $a$ 为常数, $n$ 为正整 数, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=12, n=4$
$\text{B.}$ $a=12, n=3$
$\text{C.}$ $a=6, n=4$
$\text{D.}$ $a=6, n=3$
设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:
(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1)$, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0,1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是
$\text{A.}$ (1) 和 (2)
$\text{B.}$ (3) 和 (4)
$\text{C.}$ (1) 和 (3)
$\text{D.}$ (2) 和 (4)
设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a>0, b>0$, 若该积分收敛, 则必有
$\text{A.}$ $0 < a < 1,0 < b < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1, b>1$
$\text{C.}$ $a>1,0 < b < 1$
$\text{D.}$ $a>1, b>1$
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0, \\ 0, x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
设有一阶微分方程 (1) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$ 和微分方程 (2) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$, 则 $y=(\arctan x)^2 $.
$\text{A.}$ 是 (1) 的解, 也是 (2) 的解
$\text{B.}$ 是 (1) 的解, 不是 (2) 的解
$\text{C.}$ 是 (2) 的解, 不是 (1) 的解
$\text{D.}$ 不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的二阶偏导数 $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0), f^{\prime \prime}{ }_{y y}(0,0)$ 均存在, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, y), f^{\prime}{ }_y(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
$\text{D.}$ $f^{\prime} y(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列结论不成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d} x=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 x[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k $.
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times \times}, \boldsymbol{C}_{n \times s}$ 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$\text{A.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{B.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{D.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为可逆矩阵, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\right.$ $\left.\boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime \prime}(3)=$
方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且 $f(0)=0$, 其反函数为 $g(x)$, 满足
$$
\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=(x-1) \mathrm{e}^x+x^2+1,
$$
则 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=$
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{t}{\cos \theta}} \frac{\sin \left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{d} r=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 则常数 $b=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
设 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 其中函数 $f$ 二阶可微, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=1$, 若函数 $u=f(r)$ 满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$, 试求 $f(r)$ 的表达式.
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant \leqslant \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right)$, 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{y-1}+x \ln x-x y-y \mathrm{e}^{1-y}$ 的最小值.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续.
(1) 证明存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(b-\xi) f(\xi)$;
(2) 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最大值和最小值, 证明存在 $\eta \in(a, b)$, 使得
$$
\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-a) f(\eta) .
$$
3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|=2$.
(1) 证明 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化;
(2) 如果 $\boldsymbol{A}$ 为实对称阵, 且 $\boldsymbol{\xi}=(1,1-1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 求 对称矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$.