设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 则常数 $b=$
【答案】 -2

【解析】 【解】由于 $\boldsymbol{B}$ 为对角阵, 因此 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $-1,2, b$. 由特征值性质有
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \operatorname { t r } \boldsymbol { A } = \operatorname { t r } \boldsymbol { B } , } \\
{ | \boldsymbol { A } | = | \boldsymbol { B } | }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-2+a+1=-1+2+b, \\
-2 a+4=-2 b,
\end{array}\right.\right.
$$
可得 $a-b=2$, 注意到 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=0$ 或 $|\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}|=0$, 得 $a=0$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a=0, \\ b=-2 \text {. }\end{array}\right.$
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