设有一阶微分方程 (1) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$ 和微分方程 (2) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$, 则 $y=(\arctan x)^2 $.
$ \text{A.} $ 是 (1) 的解, 也是 (2) 的解 $ \text{B.} $ 是 (1) 的解, 不是 (2) 的解 $ \text{C.} $ 是 (2) 的解, 不是 (1) 的解 $ \text{D.} $ 不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解
【答案】 A

【解析】 【解】 由于 $y^{\prime}=\frac{2 \arctan x}{1+x^2}, y^{\prime 2}=\frac{4(\arctan x)^2}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{4 y}{\left(1+x^2\right)^2},\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$. 两边再对 $x$ 求导, $4 x\left(1+x^2\right) y^{\prime 2}+\left(1+x^2\right)^2 \cdot 2 y^{\prime} y^{\prime \prime}=4 y^{\prime}$. 当 $x \neq 0$ 时, $y^{\prime} \neq 0$, 得 $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x(1+$ $\left.x^2\right) y^{\prime}=2$. 当 $x=0$ 时, $y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=\left.\frac{2-4 x \arctan x}{\left(1+x^2\right)^2}\right|_{x=0}=2$, 故 $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x(1+$ $\left.x^2\right) y^{\prime}=2$ 也成立, 因此对任意的 $x,\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$ 成立.
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