填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x+x^2 \sin \frac{1}{x^2+1}$ 的渐近线为
曲线段 $y=\frac{2}{3} x \sqrt{x}(0 \leq x \leq 8)$ 的弧长为
函数 $f(x)=x(1-x)^3$$(0 < x < 1)$ 在 $x=$ $\qquad$处取得极大值．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}=$
$\int_0^x\left|e^t-1\right| d t=$
广义积分 $\int_0^1 \frac{(-\ln x)^p}{\sqrt{x}(1-x)^2} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围为
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{3 \sin ^2 x+\cos ^2 x}=$
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0$ 的通解为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{n\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=x e^{-x^2}(x>0)$
（I）求 $f(x)$ 的单调区间，极值点与极值，凹凸区间，拐点和渐近线；
（II）画出曲线 $y=f(x)$ 的草图。
当参数 $p>0$ 满足什么条件时广义积分 $\int_1^{+\infty}\left(\frac{x}{x^2+p}-\right.$ $\left.\frac{p}{x+1}\right) d x$ 收敛？并求此时的广义积分值．
通过变量代换 $x=\sin t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，化简以下微分方程并求其通解：
$$
\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+y=0 \quad(-1 < x < 1)
$$
记圆周 $\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos t \\ y=\sin t\end{array} \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转面为 $S$ ．
（I）求 $S$ 的面积．
（II）求由 $S$ 所包围的旋转体的体积．
设 $I=\int_0^2 \frac{x}{e^x+e^{2-x}} d x$ ．
（I）证明 $I=\int_0^2 \frac{1}{e^t+e^{2-t}} d t$ ；
（II）求积分 $I$ 的值．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=1$ ，且满足
$$
\left(x^2+1\right) f^{\prime}(x)+\left(x^2+1\right) f(x)-2 \int_0^x t f(t) d t=0
$$
（I）求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；
（II）证明当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$e^{-x} \leq f(x) \leq 1$ ．
设 $x \in(0,1)$ ，证明
（I）对任意正整数 $n$ ，都有 $\frac{n^x \cdot n!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} < 1$ ；
（II） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$ 存在（有限）．
(附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（I）$f(x)>0$ ；
（II）$f(1)=1, f(x+1)=x f(x)$ ；
（III）$\varphi(x)=\ln f(x)$ 是下凸函数．
试证：$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad(0 < x < 1)$ ．