清华大学2024-2025学年微积分A1期末考试题及参考解答

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清华大学2024-2025学年微积分A1期末考试题及参考解答

一、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 曲线

y = x + x^{2} \sin \frac{1}{x^{2} + 1}

的渐近线为

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2. 曲线段

y = \frac{2}{3} x \sqrt{x} (0 \leq x \leq 8)

的弧长为

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3. 函数

f (x) = x (1 - x)^{3}

(0 < x < 1)

在

x =

处取得极大值．

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lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{\int_{0}^{x} \frac{\ln (1 + t^{3})}{t} d t} =

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\int_{0}^{x} | e^{t} - 1 | d t =

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6. 广义积分

\int_{0}^{1} \frac{(- \ln x)^{p}}{\sqrt{x} (1 - x)^{2}} d x

收敛，则

p

的取值范围为

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7. 微分方程初值问题

{\begin{cases} (1 + e^{x}) y y^{'} = e^{x} \\ y (0) = \sqrt{2 \ln 2} \end{cases}

的解为

y (x) =

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\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{3 \sin^{2} x + \cos^{2} x} =

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9. 微分方程

x^{2} y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0

的通解为

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10.

lim_{n \to \infty} \frac{1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}}{n (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})} =

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二、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设

f (x) = x e^{- x^{2}} (x > 0)

（I）求

f (x)

的单调区间，极值点与极值，凹凸区间，拐点和渐近线；
（II）画出曲线

y = f (x)

的草图。

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12. 当参数

p > 0

满足什么条件时广义积分

\int_{1}^{+ \infty} (\frac{x}{x^{2} + p} -

\frac{p}{x + 1}) d x

收敛？并求此时的广义积分值．

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13. 通过变量代换

x = \sin t, t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，化简以下微分方程并求其通解：

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} + y = 0 (- 1 < x < 1)

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14. 记圆周

{\begin{cases} x = 2 + \cos t \\ y = \sin t \end{cases} (0 \leq t \leq 2 π)

绕

y

轴旋转一周所得的旋转面为

S

．
（I）求

S

的面积．
（II）求由

S

所包围的旋转体的体积．

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15. 设

I = \int_{0}^{2} \frac{x}{e^{x} + e^{2 - x}} d x

．
（I）证明

I = \int_{0}^{2} \frac{1}{e^{t} + e^{2 - t}} d t

；
（II）求积分

I

的值．

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16. 设函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导，

f (0) = 1

，且满足

(x^{2} + 1) f^{'} (x) + (x^{2} + 1) f (x) - 2 \int_{0}^{x} t f (t) d t = 0

（I）求

f^{'} (x)

的表达式；
（II）证明当

x \in [0, + \infty)

时，

e^{- x} \leq f (x) \leq 1

．

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17. 设

x \in (0, 1)

，证明
（I）对任意正整数

n

，都有

\frac{n^{x} \cdot n!}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)} < 1

；
（II）

lim_{n \to \infty} \frac{n^{x} \cdot n!}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)}

存在（有限）．

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18. (附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在

(0, + \infty)

上的函数

f (x)

满足如下条件：
（I）

f (x) > 0

；
（II）

f (1) = 1, f (x + 1) = x f (x)

；
（III）

φ (x) = \ln f (x)

是下凸函数．
试证：

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{x} \cdot n!}{x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)} (0 < x < 1)

．

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