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试题 ID 24035
【所属试卷】
清华大学2024-2025学年微积分A1期末考试题及参考解答
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=1$ ，且满足
$$
\left(x^2+1\right) f^{\prime}(x)+\left(x^2+1\right) f(x)-2 \int_0^x t f(t) d t=0
$$
（I）求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；
（II）证明当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$e^{-x} \leq f(x) \leq 1$ ．
A
B
C
D
E
F
答案：
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解析：
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设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=1$ ，且满足<br><br>$$<br>\left(x^2+1\right) f^{\prime}(x)+\left(x^2+1\right) f(x)-2 \int_0^x t f(t) d t=0<br>$$<br><br>（I）求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；<br>（II）证明当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$e^{-x} \leq f(x) \leq 1$ ． <div> </div> <br /> <br /> <b>答案</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div> <br /> <br /> <b>解析</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div>